ВСТУП
В шкільному курсі алгебри розглядаються різні види рівнянь - лінійні, квадратні, біквадратние, кубічні, раціональні, з параметрами, ірраціональні та інші. Ця курсова робота присвячена ірраціональним рівнянням, методів їх вирішення. Крім того, в роботі введено поняття рівнянь наслідків і рівносильних рівнянь, а також наведено приклади завдань, математичними моделями яких служать ірраціональні рівняння. У даній роботі міститься невелика історична довідка, присвячена введенню ірраціональних чисел.
1. З ІСТОРІЇ
Термін В«РаціональнеВ» (число) походить від латиноамериканського слова ratio - відношення, яке є перекладом грецького слова "логос" на відміну від раціональних чисел, числа, що виражають відношення несумірних величин, були названі ще в давнину ірраціональними, тобто нераціональними (по-грецьки "алогос") правда, спочатку терміни "Раціональний" і "ірраціональний" ставилися не до числах, а до сумірними і відповідно не порівнянним величинам, які піфагорійці називали виразність і невимовним, Теодор Кіренський ж симетричними і ассімметрічного. У V-VI ст. римські автори Капела і Кассиодор переводили ці терміни на латинь словами rationalis і irrationalis. Термін В«сумірнийВ» (commensurabilis) ввів в першій половині VI в. інший римський автор-Боецій.
Давньогрецькі математики класичної епохи користувалися тільки раціональними числами (Вірніше цілими, дробовими і позитивними). У своїх В«ПочаткахВ» Евклід викладає вчення про ірраціональні чисто геометрично.
Математики Індії, Близького і Середнього Сходу, розвиваючи алгебру, тригонометрію і астрономію, не могли обійтися без ірраціональних величин, які, однак, тривалий час не визнавали за числа. Греки називали ірраціональну величину, наприклад, корінь з квадратного числа, В«алогосВ» - невимовне словами, а пізніше європейські перекладачі з арабської на латинь перевели це слово латинським словом surdus - глухий. У Європі термін surdus-глухий вперше з'явився в середині XII в. у Герарда кремонських, відомого перекладача математичних прозведеній з арабської на латину, потім у італійського математика Леонардо Фабоначчі та інших європейських математиків, аж до XVIII ст. Правда вже в XVI в. Окремі вчені, в першу чергу італійський математик Рафаель Бомбелли і нідерландський математик Сімон Стевін вважали поняття ірраціонального числа рівноправним з поняттям раціонального числа. Стевін писав: В«Ми приходимо до висновку, що не існує ніяких абсурдних, ірраціональних, неправильних, непояснених або глухих чисел, але що серед чисел існує таке досконалість і згода, що нам треба міркувати дні і ночі над їх дивовижною закономірністю. В»
Ще до Бомбелли і Стевина багато вчених країн Середнього Сходу в своїх працях вживали ірраціональні числа як повноправні об'єкти алгебри. Більш того, коментуючи В«НачалаВ» Евкліда і досліджуючи загальну теорію відносини Евдокса, Омар Хайям вже на початку XII в. теоретично розширює поняття числа до позитивного дійсного числа. У тому ж напрямку багато було зроблено найбільшим математиком XIII в. ат-Тусі.
Математики і астрономи Близького і Середнього Сходу слідом за астрономами стародавнього Вавилона і елліністичної епохи широко користувалися Шістдесяткова дробами, арифметичні дії з якими вони називали В«арифметикою астрономівВ». За аналогією з Шістдесяткова дробами самаркандський вчений XV в. ал-Каші в роботі В«Ключ арифметикиВ» ввів десяткові дроби якими він користувався для підвищення точності витягу коренів. Незалежно від нього по такому ж шляху йшов відкрив у 1585 р. десяткові дробу в Європі Симон Стевін, який у своїх В«додатках до алгебриВ» (1594 р.) показав, що десяткові дроби можна використовувати для нескінченно близького наближення до дійсному числу. Таким чином, вже в XVI в. зародилася ідея про те, що природним апаратом для введення і обгрунтування поняття ірраціонального числа є десяткові дроби. Поява В«ГеометріїВ» Декарта полегшило розуміння зв'язку між виміром будь-яких відрізків (і геометричних величин взагалі) і необхідності розширення поняття раціонального числа. На числовій осі ірраціональні числа, як і раціональні, зображуються точками. Це геометричне тлумачення дозволило краще зрозуміти природу ірраціональних чисел і сприяло їх визнанням.
В сучасних навчальних посібниках основа визначення ірраціонального числа спирається на ідеї ал-Каші, Стевина і Декарта про вимірювання відрізків і про необмеженій наближенні до шуканого числа за допомогою нескінченних десяткових дробів. Однак обгрунтуванням властивостей дійсних чисел і повна теорія їх була розроблена лише в XIX в.
2. ВИЗНАЧЕННЯ ірраціональних рівнянь
Рівносильні рівняння. Слідства рівнянь.
При рішенні рівнянь виконуються різні тотожні перетворення над виразами, що входять в рівняння. При цьому вихідне рівняння змінюється іншими, що мають ті ж коріння. Такі рівняння називаються рівносильними.
Визначення: Рівняння f (x) = g (x) рівносильне рівнянню f1 (x) = g1 (x), якщо кожен корінь першого рівняння є коренем другого і назад, кожен корінь другого рівняння є коренем першого, тобто їх рішення збігаються.
Наприклад, рівняння 3x-6 = 0; 2х-1 = 3 рівносильні, тому кожне з рівнянь має один корінь х = 2.
Будь два рівняння, що мають пусте безліч коренів, вважають рівносильними.
Той факт, що рівняння f (x) = g (x) і f1 (x) = g1 (x) рівносильні, позначають так:
f (x) = g (x) f1 (x) = g1 (x)
В процесі розв'язання рівнянь важливо знати, за яких перетворень дане рівняння переходить в рівносильне йому рівняння.
Теорема 1: Якщо будь доданок перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.
Доказ:
Доведемо, що рівняння f (x) = g (x) + q (x) (1)
рівносильне рівнянню
f (x) - q (x) = g (x) (2)
Нехай х = а - корінь рівняння. Значить має місце числове рівність f (a) = g (a) + q (a). Але тоді по властивості дійсних чисел буде виконуватися і числове рівність f (a)-q (a) = g (a) показує, що а - корінь рівняння (2). Аналогічно доводиться, що кожен корінь рівняння (2) є і коренем рівняння (1).
Що і вимагалося доказат.
Теорема 2: Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на відмінне від нуля число, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.
Доказ: доведемо, що рівняння 6х-3 = 0 рівносильне рівнянню 2х-1 = 0
вирішимо рівняння 6х-3 = 0 і рівняння 2х-1 = 0
6х = 3 2х = 1
х = 0,5 х = 0,5
так як коріння рівнянь рівні, то рівняння рівносильні.
Що і вимагалося довести.
Розглянемо рівняння
ОДЗ цього рівняння {х в‰ 1, х в‰ -3}
Ми знаємо, що дріб дорівнює нулю в тому випадку, коли її чисельник дорівнює нулю, тобто х ВІ + х-2 = 0, а знаменник не дорівнює 0. Вирішуючи рівняння х ВІ + х-2 = 0, знаходимо коріння х1 = 1, х2 = -2. Але число 1 не входить в ОДЗ даного рівняння і виходить, вихідне рівняння має один корінь х = -2.
У цьому випадку говорять, що рівняння х ВІ + х-2 = 0, є наслідок рівняння
нехай дано два рівняння:
f1 (x) = g1 (x) (3)
f2 (x) = g2 (x) (4)
Якщо кожен корінь рівняння (3) є коренем рівняння (4), то рівняння (4) називають наслідком рівняння (3).
Цей факт записують так:
В тому випадку, коли рівняння (3) - є також наслідок рівняння (4), ці рівняння рівносильні.
Два рівняння рівносильні в тім, і тільки в тому випадку, коли кожне з них є наслідком іншого.
В наведеному вище прикладі рівняння - наслідок
х ВІ + х-2 = 0, має два кореня x1 = 1 і х2 = -2, а вихідне рівняння має один корінь х = -2. У цьому випадку корінь х = 1 називають стороннім для вихі...
