Поняття інтеграл безпосередньо пов'язано з інтегральним обчисленням - розділом математики, які займаються вивченням інтегралів, їх властивостей і методів обчислення. Разом з диференціальним численням інтегральне числення складає основу математичного аналізу.
Витоки інтегрального числення відносяться до античного періоду розвитку математики і беруть початок від методу вичерпання, розробленого математиками Древньої Греції.
Метод вичерпування це набір правил для обчислення площ і об'ємів, розробка яких приписується Евдокс Кнідський. Подальший розвиток метод отримав в роботах Евкліда, а особливим мистецтвом і різноманітністю застосування методу вичерпання славився Архімед.
Типова схема доказів методом вичерпування виглядала наступним чином. Для визначення величини A будувалася деяка послідовність величин С1, С2, ..., Сn, ... така, що
Передбачалося також відомим таке B, що
і що для будь-якого цілого K можна знайти достатньо велику n, що задовольняє умові:
Де D - постійно. Після громіздких міркувань з останнього виразу вдавалося отримати:
Як видно з наведеної схеми метод був заснований на апроксимації розглянутих об'єктів ступінчастими фігурами або тілами, складеними з найпростіших фігур або просторових тіл (прямокутників, паралелепіпедів, циліндрів і т.п., позначених послідовністю С1, С2, ..., Сn, ...). У цьому сенсі метод вичерпання можна розглядати як античний інтегральний метод.
Криза і занепад стародавнього світу призвів до забуття багатьох наукових досягнень. Про метод вичерпання згадали лише в XVII столітті. Це було пов'язано з іменами Ісаака Ньютона , Готфріда Лейбніца, Леонарда Ейлера і ряду інших видатних вчених, що поклали основу сучасного математичного аналізу.
В Наприкінці XVII і в XVIII столітті все зростаючі запити практики та інших наук спонукали вчених максимально розширювати область і методи досліджень математики. Поняття нескінченності, руху та функціональної залежності висуваються на перше місце, стають основою нових методів математики.
В Наприкінці XVII і в XVIII столітті в математиці і механіці були отримані класичні результати фундаментального значення. Основним тут було розвиток диференціального і інтегрального числення, теорії диференціальних рівнянь, варіаційного числення і аналітичної механіки.
Основні поняття та теорія інтегрального і диференціального числень, перш за все зв'язок операцій диференціювання й інтегрування, а також їх застосування до розв'язання прикладних задач були розроблені в кінці XVII століття, але грунтувалися на ідеях, сформульованих на початку XVII столітті великим математиком і астрономом Иоганом Кеплером.
В листопаді 1613 королівський математик і астролог австрійського двору І. Кеплер святкував весілля. Готуючись до неї, він придбав кілька бочок виноградного вина. При покупці Кеплер був вражений тим, що продавець визначав місткість бочки, виробляючи одне єдине дію - вимірюючи відстань від наливного отвори до найдальшої від нього точки днища. Адже такий вимір абсолютно не враховувало форму бочки! Кеплер відразу побачив, що перед ним найцікавіша математична задача - по декількох вимірюваннях обчислити місткість бочки. Розмірковуючи над цим завданням, він знайшов формули не тільки для обсягу бочок, але й для об'єму самих різних тіл: лимона, яблука, айви і навіть турецької чалми. Для кожного з тіл Кеплеру доводилося створювати нові, часто дуже хитромудрі методи, що було вкрай незручно. Спроба знайти досить загальні, а, головне, прості методи вирішення подібних завдань і призвела до виникнення сучасного інтегрального числення. Але це вже була заслуга зовсім іншого математика.
Важко знайти інше ім'я, яке надало б настільки сильний вплив на історію світової науки і культури, як Ісаак Ньютон. Відомий математик та історик науки Б. Л. Ван-дер-Варден пише у своїй книзі "пробуджує наука": "Кожен природодослідник безумовно погодиться, що механіка Ньютона є основа сучасної фізики. Кожен астроном знає, що сучасна астрономія починається з Кеплера і Ньютона. І кожен математик знає, що самим значним н найбільш важливим для фізики відділом сучасної математики є аналіз, в основі якого лежать диференціальне й інтегральне обчислення Ньютона. Отже, праці Ньютона є основою величезної частини точних наук нашого часу ". І не тільки наук: "Математика і техніка впливають навіть на наше духовне життя, і настільки. що ми рідко можемо уявити це собі повністю. Слідом за надзвичайним злетом, яке пережило і XVII столітті природознавство, послідував неминуче раціоналізм XVIII століття, обожнювання розуму, занепад релігії ... Хто віддає собі звіт в тому, - запитує автор, - що з історичної точки зору Ньютон є найбільш значною фігурою XVII століття? "
Ісаак Ньютон народився в 1643 році. Хлопчик відвідував спочатку сільську школу, а в дванадцять років його відправили вчитися в найближче місто. Директор школи звернув увагу на здібного хлопчика і умовив матір Ньютона відправити сина вчитися у Кембриджський університет. Ньютон був прийнятий туди як бідного студента, зобов'язаного прислужувати бакалаврам, магістрам та студентам старших курсів.
Кафедру математики в Кембриджі займав тоді молодий блискучий вчений Ісаак Барроу. Він скоро став не лише вчителем, а й другом Ньютона, а через кілька років поступився свого великого учня кафедру математики. До цього часу Ньютон отримав вже ступені бакалавра і магістра. У 1665-1667 роках Ньютон почав працювати над створенням математичного апарату, за допомогою якого можна було б досліджувати і виражати закони фізики. Ньютон першим побудував диференціальне та інтегральне числення (він назвав його методом флюксій). Це відразу дозволило вирішувати найрізноманітніші, математичні і фізичні, завдання. До Ньютона багато функцій визначалися тільки геометрично, так що до них неможливо було застосовувати алгебру і нове літочислення флюксій. Ньютон знайшов новий загальний метод аналітичного подання функції - він ввів у математику й почав систематично застосовувати нескінченні ряди.
Пояснимо цю ідею Ньютона. Відомо, що будь-яке дійсне число можна представити десятковим дробом - кінцевої або нескінченної. Так. наприклад:
Це означає, що будь-яке число a можна представити у вигляді:
де N - ціла частина, а a1, a2, ... an, ... можуть приймати одне із значень 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. За аналогією з таким поданням чисел Ньютон припустив, що будь-яка функція від x, наприклад, може бути представлена ​​як нескінченний многочлен або ряд, розташований вже не за ступенями, а за ступенями x:
де a1, a2, ... an, ... - коефіцієнти, які кожен раз повинні бути визначені. Прикладом такого ряду може служити відома нам геометрична прогресія:
Подання функції за допомогою ряду дуже зручно. За допомогою рядів, як писав Ньютон, "вдається подолати труднощі, в іншому вигляді представляються майже нездоланною ".
Одночасно з Ньютоном до аналогічних ідеям прийшов інший видатний вчений - Готфрід Вільгельм Лейбніц.
Готфрід Вільгельм Лейбніц народився в Німеччині в м. Лейпцигу в 1646 р. Допитливий хлопчик вже 6 років вів цікаві бесіди з історії зі своїм батьком, професором Лейпцігського університету. До 12 років він добре вивчив латинську мову і захопився давньогрецьким. Особливо його цікавили стародавні філософи, і він міг подовгу роздумувати про філософських теоріях Аристотеля чи Демокріта. У 15 років Лейбніц надходить і Лейпцігський університет, де ретельно вивчає право і філософію. Він дуже багато читає, серед його улюблених книг - книги Р. Декарта, Г. Галілея, II. Кеплера і Д. Кампанелли.
Свої колосальні знання але математиці Лейбніц придбав самоучкою. Через три роки, закінчивши університет, Лейбніц покинув Лейпциг. Він був ображений відмовою вченого ради університету присв...
