З пункту 2 аксіоми, по якій вводилося визначення ймовірності події, випливає, що якщо A 1 і A 2 несумісні події, то
P () = P (A 1 ) + P (A 2 )
Якщо A 1 і A 2 - спільні події, то = (A 1 A 2 ), причому очевидно, що A 1 A 2 і A 2 - несумісні події. Звідси випливає:
P () = P (A 1 A 2 ) + P (A 2 ) ( *)
Далі очевидно: A 1 = (A 1 A 2 ), причому A 1 A 2 і - несумісні події, звідки слід: P (A 1 ) = P (A 1 A 2 ) + P () Знайдемо з цієї формули вираз для P (A 1 A 2 ) і підставимо його в праву частина формули (*). В результаті отримаємо формулу складання ймовірностей:
P () = P (A 1 ) + P (A 2 ) - P ()
З останньої формули легко отримати формулу складання ймовірностей для неспільних подій, поклавши = Г†.
Приклад 1. Знайти ймовірність витягнути туза або чирвовий масть при випадковому відборі однієї карти з колоди в 32 аркуша.
Р ( ТУЗ) = 4/32 = 1/8; Р (чирвовий масті) = 8/32 = 1/4;
Р (ТУЗЧЕРВЕЙ ) = 1/32;
Р (( ТУЗ) (чирвовий Масть)) = 1/8 + 1/4 - 1/32 = 11/32
Того ж результату можна було досягти за допомогою класичного визначення ймовірності, перерахувавши число сприятливих результатів.
Умовні ймовірності.
Розглянемо задачу. Студент перед іспитом вивчив з 30 квитків квитки з номерами з 1 по 5 і з 26 по 30. Відомо, що студент на іспиті витягнув квиток з номером, не перевищує 20. Яка ймовірність, що студент витягнув вчинений квиток?
Визначимо простір елементарних фіналів: W = (1,2,3, ..., 28,29,30). Нехай подія А полягає в тому, що студент витягнув вчинений квиток: А = (1, ..., 5,25, ..., 30,), а подія В - у тому, що студент витягнув квиток з перших двадцяти: В = (1,2,3, ..., 20)
Подія складається з п'яти исходов: (1,2,3,4,5), і його ймовірність дорівнює 5/30. Це число можна представити як добуток дробів 5/20 та 20/30. Число 20/30 - це ймовірність події B. Число 5/20 можна розглядати як ймовірність події А за умови, що подія В відбулася (позначимо її Р (А/В)). Таким чином, рішення задачі визначається формулою
Р (А/В) = P (АГ‡В)/Р (B) (1)
Р (А/В) називається умовною ймовірністю події A за умови, що подія В відбулося. Формулу (1) можна розглядати, як визначення умовної ймовірності. Цю ж формулу можна переписати у вигляді
P (АГ‡В) = Р (А/В) Р (B) (2)
Формула (2) називається формулою множення ймовірностей (теоремою множення ймовірностей), а умовна ймовірність Р (А/В) тут повинна сприйматися просто за змістом.
Приклад 2. З урни, що містить 7 білих і 3 чорних куль, навмання один за іншим витягують (без повернення) дві кулі. Яка ймовірність того, що перший куля буде білим, а другий чорним?
Нехай X - подія, яке у витяганні першого білого кулі, а Y - подія, складається в добуванні друга чорна кулі. Тоді - подія, що полягає в тому, що перший куля буде білою, а другий - чорним. P (Y/X) = 3/9 = 1/3 - умовна ймовірність вилучення друга чорна кулі, якщо першим був витягнутий білий. Враховуючи, що P (X) = 7/10, за формулою множення ймовірностей отримуємо: P () = 7/30
Подія А називається незалежною від події В (інакше: події А і В називаються незалежними), якщо Р (А/В) = Р (А). За визначення незалежних подій можна прийняти наслідок останньої формули і формули множення
P (АГ‡В) = Р (А) Р (B)
Доведіть самостійно, що якщо А і В - незалежні події, то й теж є незалежними подіями.
Приклад 3. Знайти ймовірність того, що при трьох кидках гральної кістки три рази випаде шістка. Очевидно, що при кожному кидку результат не залежить від результатів попередніх кидків, і шукана ймовірність дорівнює (1/6) 3 = 1/216.
Визначимо в умовах цієї задачі ймовірність того, що при трьох кидках у сумі випало 4 очки. Випишемо сприятливі наслідки: "1,1,2", "1,2,1", "2,1,1". Ймовірність кожного з цих фіналів дорівнює 1/216. Так як всі ці результати несумісні, цікавить нас ймовірність буде дорівнює 3/216 = 1/72.
Приклад 4. З колоди карт в 32 аркуша витягується одна карта. Нехай А - подія, що складається в тому, що витягнута карта - дама. Подія В полягає в тому, що витягнута карта пікової масті. Очевидно, що Р (А) = 4/32 = 1/8. Обчислимо величину ймовірність того, що витягнута карта-дама за умови, що ця карта пікової масті, тобто Р (А/В). Очевидно, що Р (АГ‡В) = 1/32, і Р (В) = 8/32. Тоді Р (А/В) = Р (АГ‡В)/Р (В) = 1/8, тобто Р (А) = Р (А/В). Звідси випливає, що події А і В незалежні.
Нехай подія С полягає в тому, що витягнута карта не туз. Покажемо, що події А та С залежні. Очевидно, що Р (АГ‡С) = Р (А) = 1/8. Р (С) = 28/32 = 7/8. Звідси отримуємо Р (А/С) = 1/7, і це не дорівнює величині Р (А), отже, події А і С залежні.
Приклад 5. Розглянемо задачу, аналогічну завданню з прикладу 2, але з одним додатковою умовою: витягши першу кулю, запам'ятовуємо його колір і повертаємо куля в урну, після чого всі кулі перемішуємо. У даному випадку результат другого витягання ніяк не залежить від того, який куля - чорний або білий з'явився при перший витяганні. Імовірність появи перших білої кулі (подія А) дорівнює 7/10. Імовірність події В - поява другої чорної кулі - дорівнює 3/10. Тепер формула множення ймовірностей дає: P (АГ‡В) = 21/100.
Витяг куль способом, описаним у цьому прикладі, називається вибіркою з поверненням або поворотній вибіркою.
Слід відзначити, що якщо в двох останніх прикладах покласти споконвічні кількості білих і чорних куль рівними відповідно 7000 і 3000, то результати розрахунків тих же ймовірностей будуть відрізнятися пренебрежимо мало для поворотній і безповоротної вибірок.
Розглянемо деякі задачі на застосування теорем додавання і множення ймовірностей.
1. Три стрілка стріляють у мішень. Кожен потрапляє в мішень або не потрапляє в мішень незалежно від результатів пострілів решти стрільців. Перший стрілок потрапляє в мішень з ймовірністю 0,9, другий - з імовірністю 0,8, а третій - з вірогідністю 0,7. Знайти ймовірність того, що мішень буде вражена?
Питання можна поставити інакше: яка ймовірність того, що хоча б один стрілець попаде в мішень? Очевидно, що мішень буде вражена, якщо всі троє потраплять в мішень, якщо в мішень потраплять будь двоє стрільців, а третій не потрапить і т. д. Нехай подія А полягає в тому, що хоча б один із стрільців потрапив у мішень. Тоді протилежне подія полягає в тому, що всі троє не потрапили в мішень. Якщо перший не потрапляє в мішень з ймовірністю 0,1, другий - з імовірністю 0,2, а третій - з ймовірністю 0,3, то по теоремі множення ймовірностей Р () = 0,1 Г— 0,2 Г— 0,3 = 0,006. Тоді Р (А) = 1-Р () = 0,994.
2. При включенні двигун починає працювати з імовірністю р. а) Знайти ймовірність того, що двигун почне працювати з другого включення. б) Знайти ймовірність того, що для запуску двигуна потрібно не більше двох включень.
а) Для того, щоб двигун почав працювати з другого включення, потрібно, по-перше, щоб він не запустився при першому включенні (подія А). Це відбувається з імовірністю 1-р. При другому включенні двигун запуститься (Подія В) з імовірністю р. Нас цікавить ймовірність події АГ‡В. З умови задачі можна зрозуміти, що події А і В незалежні. Звідси P (АГ‡В) = р (1-р).
б) Нас цікавить ймовірність події, що складається в тому, що двигун запуститься при першому включенні або при другому включенні. Протилежну подію полягає в тому, що двигун не запуститься ні при першому, н при другому включенні. Імовірність...
