Якість лінійних безперервних САУ та методи її оцінки
1. ОЦІНКА ЯКОСТІ ЛІНІЙНИХ САУ
310181 замкнутий лінійний квадратична інтегральна помилка
Стійкість є необхідною, але недостатньою умовою працездатності САУ. До них висувають певні вимоги якості.
Найбільш повною характеристикою якості системи є поточна помилка
(1)
- фактичне обурююча рух
- задане невозмущающее рух
Якщо, де - заданий вплив, то помилка збігається з величиною на виході пристрою, що порівнює.
Якщо на систему діють два зовнішніх впливу - задає і обурення, причому
(2)
- помилка від задаючого впливу
- помилка від обурення
З (2) видно, що помилка залежить як від властивостей системи, так і від видів вхідних впливів. Для однієї і тієї ж системи вона різна в залежності від вхідних впливів. Тому при визначенні якості системи використовують так звані типові впливу:
- ступінчасте;
- лінійне;
- гармонійне.
Розрізняють якість системи в перехідному і усталеному режимах.
Якість в перехідному режимі - властивість системи на початковому відрізку часу, де - момент додатка на систему впливу.
Якість в сталому режимі - властивість системи в асимптотиці при
.
Для оцінки якості в перехідному режимі використовують ступеневу віз-дія , Тому що вид кривої перехідного процесу не залежить від
.
де
і - перехідні функції.
-->p>
Оцінювати якість систем і порівнювати їх між собою по поточних помилок і перехідним функцій незручно. Тому для оцінки якості систем використовують числові показники, які, так чи інакше, визначають характерні властивості помилок і перехідних характеристик.
Прямі показники якості визначаються безпосередньо по перехідній характеристиці.
2. Алгебраїчні критерії стійкості
Алгебраїчними критеріями називаються критерії, які засновані на перевірці певних співвідношень, складених з коефіцієнтів характеристичного рівняння.
Тому при використанні алгебраїчних критеріїв потрібно мати тільки характеристичне рівняння виду:
Якщо дослідження стійкості проводиться за допомогою алгебраїчних критеріїв, потрібно, перш за все, перевірити виконання необхідної умови стійкості, так як його перевірка не вимагає ніяких обчислень і при невиконанні цієї умови подальших досліджень проводити не потрібно.
Необхідна умова стійкості. Для того щоб система була стійка, необхідно, щоб коефіцієнти її характеристичного рівняння були одного знака:
або (3)
Якщо необхідна умова не виконується, то система нестійка.
Якщо ж необхідна умова виконується, то система при n Ві 3 (N - порядок системи) може бути стійкою і нестійкою і для встановлення стійкості потрібно скористатися будь-яким критерієм стійкості. Як вже встановлено, у випадку систем першого і другого порядків необхідна умова (3) є і достатнім.
Перейдемо до формулювання критерію Гурвіца. Складемо з коефіцієнтів характеристичного рівняння визначник Гурвіца п-го порядку
На головній діагоналі до розташовуються коефіцієнти в порядку зростання їх індексів, починаючи з і кінчаючи. У кожному стовпці при русі від елемента, що знаходиться на головній діагоналі, вгору індекси коефіцієнтів зростають, вниз - убувають. При цьому на місце елементів з індексами, перевищують п (при русі вгору), і негативними індексами (при русі вниз) проставляються нулі.
Визначники Гурвіца - це мінори, що входять у головний визначник Гурвіца
Запишемо головні мінори визначника:
,,, ...
Ці мінори, включаючи визначник називаються визначниками Гурвіца. Приймемо для визначеності. Це припущення не порушує спільності, так як якщо, то обидві частини характеристичного рівняння можна помножити на -1.
Критерій Гурвіца. Для того щоб система була стійка, необхідно і достатньо, щоб всі визначники Гурвіца, складені з коефіцієнтів її характеристичного рівняння, були більше нуля при
): , (2)
З цього критерію слід, що при n = 3 необхідна і достатня умова стійкості має вигляд:
,, ,
Отже, вже при п = 3 необхідна умова стійкості (1) не є і достатнім. Для стійкості систем третього порядку крім необхідної умови (3) повинне виконуватися нерівність, (тобто різниця між твором середніх коефіцієнтів і твором крайніх коефіцієнтів повинна бути позитивною).
Приклад: Досліджуємо стійкість системи з одиничною негативним зворотним зв'язком, в розімкнутому і замкнутому станах, якщо задана передавальна функція розімкнутої системи. Характеристичне рівняння розімкненої системи:.
Необхідна умова не виконується: при коефіцієнт. Тому разомкнутая система нестійка.
Характеристичне рівняння замкнутої системи. Необхідна умова стійкості виконується. Тому досить перевірити умову (4):
,,,.
Замкнута система стійка.
Критерій Льенара-Шіпара. При виконанні необхідної умови (1) для стійкості системи необхідно і достатньо, щоб були позитивні або всі визначники Гурвіца з парними індексами, або все визначники Гурвіца з непарними індексами.
Отже, для того щоб система була стійка, необхідно і достатньо, щоб
,, ...,;,, ...
Або
,, ...,;,, ...
Таким чином, для дослідження стійкості немає необхідності обчислювати всі визначники Гурвіца.
3. Оцінка якості САУ в перехідному режимі. Показники якості.
Показники якості в перехідному режимі:
1 Прямі показники якості:
1.1Время регулювання
1.2Перерегулірованіе
Час регулювання - мінімальне час, по витікання якого (з моменту подачі ступінчастого впливу) відхилення вихідної величини від сталого значення не перевищує деякої заданої величини
, де - стале значення перехідної ха-рактеристики.
Перерегулювання-максимальне відхилення перехідної характеристики від усталеного значення
.
Якщо (при)
Порядок побудови перехідної характеристики не залежить від місця додатка вхідного впливу. Тому досить розглядати, як будується перехідна характеристика при дії якогось одного впливу, наприклад задаючого.
Нехай - дробно - раціональна функція. Якщо полюси
цієї функції прості, то
Якщо полюси кратні, то формула ускладнюється (через межу).
Приклад.
Нехай - П.Ф. розімкнутої системи, тоді П.Ф. замкнутої системи
.
2 Непрямі показники якості:
2.1 Кореневі
2.2 Частотні
2.3 Інтегральні.
2.1.1 ступінь стійкості
Кореневі
2.1.2 коливає
Якість системи можна розглядати, коли всі корені характеристичного рівняння ліві, тобто система стійка.
Ступінь стійкості - відстань від уявної осі до найближчого кореня
, де - корені характеристичного рівняння
характеризує швидкодію системи. За інших рівних умов чим більше, тим швидше затухає перехідний процес.
коливальних - міра схильності системи до коливань
2.2 Частотні показники якості:
2.2.1 Запас стійкості по амплітуді
2.2.2 Запас стійкості по фазі.
За ЛАЧХ і ФЛЧХ За АФЧХ
- частота, при якій зсув фази
- частота зрізу
Чим менше запаси по амплітуді
і фазі, тим повільніше загасає процес.
2.3 Інтегральні показники якості.
2.3.1 Інтегральна помилка - визначається при аперіодичному і монотонному перехідному процесі -
2.3.2 Квадратична інтегральна помилка - визначається при коливальному перехідному процесі-
Помилку системи можна представити у вигляді суми, де
- перехідна складова помилки;
- усталена помилка.
- квадратична інтегральна помилка
