ТЕОРІЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЙОМУ СИГНАЛІВ
1 Основні положення теорії оптимального прийому сигналів
Прийом сигналів - одна з найбільш складних теоретичних і інженерних задач передачі повідомлень. Складність полягає в тому, що в пункті прийому повідомлення необхідно витягати з модульованих сигналів-переносників, які в процесі проходження по лінії зв'язку не тільки послаблюються, але і піддаються впливів різних спотворюючих чинників і перешкод.
Вельми бажано розташовувати методами прийому, які були б найкращими (оптимальними) в даних конкретних умовах. Напрямок, пов'язаний з відшуканням таких методів, називається теорією оптимального прийому.
Теоретичною основою розв'язання задач оптимального прийому є теорія Байєса.
Нехай деяка випадкова фізична величина, яку назвемо причиною, може приймати безліч значень (результатів) П з щільністю ймовірностей р (П), яка вважається апріорної (заздалегідь відомою). Нехай причина викликає появу іншого випадкової величини - слідства С, яке також може приймати безліч значень. Щільність ймовірностей цих значень залежить від конкретних результатів причини. Тому ситуація описується безліччю умовних густин ймовірностей р (С/П).
Статистичним рішенням називають процедуру, яка полягає в тому, щоб, спостерігаючи конкретне наслідок, вказувати його причину. Так як спостережуване слідство може бути викликано будь-яким результатом причини П, то можна визначити щільність ймовірностей всіх можливих результатів, які могли викликати дане слідство, тобто визначити функцію р (П /). Ця функція називається апостеріорної (послеопитной, встановленої на основі мав місце досвіду або спостереження) щільністю ймовірностей причин.
Основою для прийняття статистичного рішення є теорема Байєса
(1)
де р (С/П) - умовна щільність розподілу наслідків;
р (С) - безумовна щільність розподілу наслідків С, обумовлена ​​як
.
Значення цього інтеграла не залежить від П, оскільки інтегрування по цій змінній ведеться по всій області її існування Г.
З (1) випливає, що апостеріорна щільність ймовірностей причини р (П/С) залежить від апріорної щільності ймовірностей причини р (П) і умовної щільності ймовірностей наслідків р (С/П). щільність р (С/П) є функцією П, її називають функцією правдоподібності.
У теорії статистичних рішень показано, що при ухваленні рішення про конкретному значенні діяла причини, що викликала спостережуване (або задане) наслідок, найменшу помилку можна здійснити, якщо виносити рішення на користь того значення причини, при якій умовний розподіл р (П /) має найбільше значення. Таке правило прийняття рішення називається байєсовський.
Якщо апріорна щільність р (П) невідома, то найбільше, що можна зробити - припустити рівномірність її розподілу. Тоді рішення буде виноситися в користь того значення причини, при якому функція правдоподібності р (С/П) для спостережуваного слідства приймає найбільше значення. Це означає, що таке значення причини вважається найбільш правдоподібним серед інших можливих значень. Подібна процедура прийняття рішення називається правилом максимальної правдоподібності.
Застосуємо викладений підхід до вирішення завдання оптимального прийому сигналів.
Суть процедури оптимального прийому. Встановлено, що між коливаннями і векторами можна встановити взаємно-однозначна відповідність. Тому замість коливань можна розглядати відповідні вектори. Виходячи з цього, будемо вважати причиною П випадковий вектор х, відповідний переданим повідомленням (або однозначно пов'язаний з ним вектор сигналів s, що переносять ці повідомлення), а наслідком С - випадковий вектор у, відповідний суміші сигналу шуму на вході приймача. З урахуванням сказаного (1) можна записати або у вигляді
(2)
або в еквівалентному висловом (2) вигляді
(3)
де x, s, y - вектори в багатовимірних просторах, відповідні повідомленнями x (t), сигналами s (t) = s [x (t), t] і вхідним реалізаціям y (t) = s (t) + n (t).
При передачі дискретних повідомлень безліч повідомлень x (t) може приймати тільки кінцеве число дискретних значень, якому однозначно відповідає кінцеве число розрізняються сигналів
Оптимальна процедура прийому полягає у визначенні величин р (s/y) для всіх М значень, порівняння цих величин між собою і виборі найбільшою з них. Значення, якому відповідає максимальна величина р (/ y)
вважається переданим сигналом і у відповідності з цим на виході приймача відтворюється повідомлення.
Основна трудність при вирішенні такого завдання пов'язана із знаходженням апостеріорного розподілу р (s/y). Найбільш детально задача вирішена для перешкоди типу гауссовского білого шуму і набору сигналів, заздалегідь відомих в точці прийому. Якщо при цьому всі повідомлення рівноймовірно і незалежні, то вираз для р (s/y) можна привести до вигляду
(4)
де - одностороння спектральна щільність потужності білого гауссовского шуму;
А - деяка константа.
Знаходження сигналу, максимизирующего величину (4) при спостереженні на вході приймача деякої реалізації y (t), еквівалентно мінімізації показника експоненти. Отже, оптимальний приймач повинен виносити рішення про прийом того сигналу, при якому функція р (/ y) досягає максимуму, а величина
(5)
відповідно стає мінімальною.
Враховуючи властивості векторного представлення функцій часу, від виразу (5), можна перейти до еквівалентного йому вираженні.
(6)
Вираз (5) або (6) являє собою алгоритм роботи оптимального приймача дискретних повідомлень. Працюючи за цим алгоритмом, оптимальний приймач повинен обчислити значення величини для всіх М, використовуваних в системі сигналів (де j-1, 2, ..., М), порівняти їх між собою, вибрати найменше значення і відтворити на виході відповідне йому дискретне повідомлення.
Іншими словами, оптимальний приймач завжди відтворює на виході повідомлення, переносиме тим сигналом, до якого найбільш близька вхідна реалізація y (t). В геометричної інтерпретації це означає, що оптимальний приймач завжди відносить вектор вхідний реалізації y до найближчого вектору сигналу.
Очевидно, що прийом сигналів у присутності шуму може призводити до помилок, оскільки вектор вхідний реалізації випадковий і з деякою ймовірністю може потрапити в будь-яку точку простору. Припустимо, що вектор y, утворений з переданого сигналу і шуму n, потрапив в точку, найбільш близько розташовану до вектора сигналу.
Якщо i = j, то приймач прийме правильне рішення, якщо ж, то рішення приймача виявиться помилковим і замість переданого повідомлення він помилково відтворить повідомлення.
Незважаючи на те, що оптимальний приймач дискретних повідомлень може допускати помилкові рішення, їх вірогідність у цього приймача мінімальна в порівнянні з будь-якими реальними приймачами таких повідомлень.
Дослідження показують, що алгоритм може бути представлений в більш зручному для схемної реалізації вигляді і дозволяє отримати структурні схеми оптимальних приймачів і вирази для розрахунку завадостійкості.
2 Оптимальний когерентний прийом дискретних сигналів і його завадостійкість
У задачі розпізнавання сигналів, не містять випадкових параметрів (тобто точно відомих), В«причинамиВ» є поступають на вхід сигнали, ймовірності яких рівні, очевидно, ймовірності появи відповідних елементів. В«НаслідкамиВ» є реалізації суми сигналу і перешкоди.
Кількісно опис ситуації зручно проводити за допомогою розгляду векторів відповідних коливань. Замість сигналів будемо оперувати однозначно відповідними їм векторами, а замість реалізацій y (t) - векторами, координати яких визначаються виразом, який в нашому випадку запишемо так:
(1)
В Відповідно до те...
