Зміст
1. Джерела і види похибок результату обчислювальної задачі
2. Абсолютні і відносні похибки
3. Правила запису наближених чисел
4. Похибка суми і різниці наближених чисел
5. Похибки добутку і частки наближення чисел похибки
6. Похибка функції
7. Похибка функції декількох змінних
8. Зворотній завдання теорії похибок
Список літератури
1. Джерела і види похибок результату обчислювальної задачі
Похибки обчислень на ЕОМ
Мета роботи: вивчення впливу різних видів похибок на результати обчислень на ЕОМ
При вирішенні задачі на ЕОМ практично неможливо отримати точне рішення. Одержуване чисельне рішення майже завжди містить похибка, тобто є наближеним. Похибки вирішення задач на ЕОМ пояснюються наступними причинами:
1) математична модель задачі є наближеним описом реального об'єкта або процесу. Тому одержувані результати також завжди будуть наближеними, а їх похибки залежать від ступеня адекватності моделей реальному об'єкту чи процесу;
2) вихідні дані при вирішенні обчислювальної задачі, як правило, містять похибки. Це пояснюється тим, що вихідні дані отримують в результаті експериментів, спостережень, вимірювань або в результаті вирішення допоміжних завдань;
3) застосовуються для вирішення обчислювальних задач методи в більшості випадків є наближеними, так як отримати аналітичне рішення задачі зазвичай не вдається;
4) використання ЕОМ вносить помилки, які з'являються при введенні-виведенні даних в процесі обчислень.
З урахуванням зазначених вище причин похибка рішення обчислювальної задачі на ЕОМ складається з трьох складових:
- непереборна похибка;
- похибка методу;
- обчислювальна похибка.
Неусувна похибка відповідає першим двом причинам і єдиний спосіб зменшити цю похибка полягає в переході до більш точної моделі або у використанні більш точних вхідних даних.
Похибка методу визначається третьою причиною, причому поява цієї похибки практично неминуче при будь-яких обчисленнях.
Обчислювальна похибка виникає в основному через округлення чисел при введенні-виведенні, а також при виконанні арифметичних операцій в ЕОМ. Це обумовлено обмеженою розрядністю ЕОМ і особливостями представлення даних в пам'яті машини.
2. Абсолютні і відносні похибки
Розглянемо числові характеристики похибок. Будемо вважати, що результат рішення задачі на ЕОМ є наближеним числом.
Нехай А - точне число, яке може бути і невідомою. Тоді наближеним числом а будемо називати таке число, яке незначно відрізняється від точного А і замінює його в обчисленнях. При цьому говорять, що число а є наближенням числа А, що позначається як А В»а.
Наприклад, нехай p - точне число. Тоді різні наближення можна задати наступним чином:
;; .
Різниця А - а між точним числом А і його наближенням а називається похибкою або помилкою наближеного числа а.
Оскільки можливо, що а> А чи а <А вводиться поняття абсолютної похибки наближеного числа, яка позначається як Dа = ВЅ А - а ВЅ.
Можливі два випадки обчислення абсолютної похибки:
1) коли точне число відомо, наприклад
2) якщо точне число не відомо, то для оцінки похибки наближення використовується поняття граничної абсолютної похибки:
або.
Якщо гранична абсолютна похибка задана, то її значення дозволяє встановити межі в яких знаходиться точне число А:
або.
Очевидно, що значення абсолютної похибки наближеного числа не дозволяє оцінити ступінь його наближення до точного значення. Для цього використовують поняття відносної похибки наближеного числа, яка обчислюється наступним чином:
.
З цієї формули видно, що величина може бути обчислена тільки при відомому значенні точного числа А. Якщо точне значення числа не відомо, то використовується поняття граничної відносної похибки
.
У практиці обчислень величина визначається за формулою
.
Вважають, що ця формула застосовна, якщо, Зокрема, вважається нормальним, якщо або, що те ж саме,. У грубих розрахунках допускається. Іноді потрібно, щоб.
3. Правила запису наближених чисел
Для вирішення інженерних завдань часто доводиться визначати різні числа, як точні, так і наближені. При цьому вимагається, щоб похибка, яка виникає при округленні була б мінімальною.
Нехай деякий десяткове число представлено його розкладанням
,
де 10 S - одиниця розряду S, a S - цифра розряду, S - номер розряду.
Всі цифри числа від першої зліва, нерівній нулю, до останньої цифри справа називаються значущими цифрами.
Наприклад, нехай задані наступні числа:
a 1 = 2.67; a 2 = 0.267; a 3 = 0.00267; a 4 = 0.26700
Тоді для a 1 , a 2 , a 3 маємо 3 значущі цифри та для a 4 - 5 значущих цифр.
Якщо крайні праворуч нулі не вважають значущими, то число записують в експоненційної формі:
,
де m - експонента, p - порядок числа.
Значуща цифра числа a S називається вірною, якщо абсолютна похибка цього числа не перевершує половини одиниці розряду S, тобто
.
Якщо абсолютна похибка числа не вказана, то всі його значущі цифри вважають вірними.
Під округленням числа а будемо розуміти його заміну числом а ', яке має меншу кількість значущих цифр, ніж вихідне число а. Округлення повинно проводитись таким чином, щоб виникаюча помилка була мінімальною.
Для оцінки величини помилки вводять наступні характеристики:
- абсолютна похибка округлення;
- відносна похибка округлення.
При необхідності можуть використовуватися їхні граничні значення:
;.
Якщо округляється наближене число, то похибка отриманого числа включає дві складові:
- похибка округлення;
- похибка вихідного числа.
Округлення чисел проводиться за наступними правилами.
1. Якщо перша з відкинутих цифр менше 5, то остання сохраняемая цифра не змінюється.
2. Якщо перша з відкинутих цифр більше 5, то остання сохраняемая цифра збільшується на 1.
3. Якщо перша з відкинутих цифр дорівнює 5, і за нею йдуть не нулі, то остання сохраняемая цифра збільшується на 1.
4. Якщо перша з відкинутих цифр дорівнює 5 і всі значущі цифри, що йдуть за нею дорівнюють нулю, то остання сохраняемая цифра збільшується на 1, якщо вона непарна, і не змінюється, якщо вона парна.
4. Похибка суми і різниці наближених чисел
Абсолютна похибка алгебраїчної суми або різниці декількох наближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел:
;
.
Гранична абсолютна похибка суми або різниці визначається наступним чином:
;
.
Оцінимо відносну похибка суми наближених чисел. Нехай Х 1 , Х 2 - точні числа одного знака, х 1 , х 2 - їх наближення. Тоді
ВЈ (1)
де.
Гранична відносна похибка суми двох чисел обчислюється як
, (2)
де.
Формули (1) і (2) можна узагальнити на випадок довільної кількості доданків:
Таким чином, при підсумовуванні чисел одного знаку не відбувається втрати відносної точності, що видно з наведених співвідношень.
Оцінка відносної похибки для різниці двох чисел здійснюється за формулою
ВЈ nd max ,
Де
;.
Формули для граничних відносних похибок мають вигляд:
Очевидно, що для різниці наближених чисел відносні похибки зростають в n разів, де n> 1. При цьому можлива істотна втрата точності, яка відбува...
