Федеральне агентство з освіти
Державна освітня установа вищої професійної освіти
Тульський державний університет
Кафедра "Автоматика і телемеханіка"
ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА До курсової роботи
з дисципліни: В«Програмування на мові високого рівняВ»
на тему: В«Обчислення визначника матриці прямим методомВ»
Виконав: студент групи 260661
Ю.В. Красов
Перевірив: асистент кафедри АТМ
А.С. Карцева
Тула 2008
ЗМІСТ
ВСТУП
1. ВИБІР І ОБГРУНТУВАННЯ Чисельні методи розв'язання задач
1.1 Визначення матриці
1.2 Визначення детермінанта
1.3 Метод виключення Гаусса. Обчислення визначника методом виключення
2. АЛГОРИТМ РОБОТИ ПРОГРАМИ
2.1 Структура алгоритму і даних
2.2 Схема алгоритму
3. ТЕКСТ ПРОГРАМИ
3.1 Опис змінних та структур даних
3.2 Текст програми на мові Pascal
4. Тестові завдання
4.1 Математичне рішення задачі
4.2 Рішення, отримане з використанням розробленого програмного забезпечення
5. ІНСТРУКЦІЯ КОРИСТУВАЧУ
ВИСНОВОК
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
ВСТУП
Сучасна математика орієнтована на використання комп'ютерів для прикладних розрахунків. Будь-які математичні додатки починаються з побудови моделі явища (вироби, дії, ситуації або іншого об'єкта), до якого належить досліджуваний питання. Класичними прикладами математичних моделей можуть служити визначений інтеграл, рівняння коливань маятника, рівняння теплообміну, рівняння пружності, рівняння електромагнітних хвиль і інші рівняння математичної фізики і навіть модель формальних міркувань - алгебру Буля.
Основоположними засобами вивчення математичних моделей є аналітичні методи: одержання точних рішень в окремих випадках (наприклад, табличні інтеграли), розкладання в ряди. Певну роль здавна відігравали наближені обчислення. Наприклад, для обчислення визначеного інтеграла використовувалися квадратурні формули.
Появи на початку XX століття електронних обчислювальних машин (Комп'ютерів) радикально розширило можливості додатка математичних методів в традиційних областях (механіці, фізиці, техніці) і викликало бурхливе проникнення математичних методів в нетрадиційні області (управління, економіку, хімію, біологію, психологію, лінгвістику, екологію і т.п.).
Комп'ютер дає можливість запам'ятовувати великі (але кінцеві) масиви чисел і виробляти над ними арифметичні операції і порівняння з великою (але кінцевої) швидкістю по заданій обчислювачем програмі. Тому на комп'ютері можна вивчати тільки ті математичні моделі, які описуються кінцевими наборами чисел, і використовувати кінцеві послідовності арифметичних дій, а також порівнянь чисел за величиною (Для автоматичного управління подальшими обчисленнями).
З використанням комп'ютера став можливий обчислювальний експеримент, т. e. розрахунок у метою перевірки гіпотез, а також з метою спостереження за поведінкою моделі, коли заздалегідь не відомо, що саме зацікавить дослідника. В процесі чисельного експерименту відбувається по суті уточнення вихідної математичної постановки задачі. У процесі розрахунків на комп'ютері відбувається накопичення інформації, що дає можливість в кінцевому рахунку зробити відбір найбільш цікавих ситуацій. На цьому шляху зроблено багато спостережень і відкриттів, стимулюючих розвиток теорії і мають важливі практичні застосування.
За допомогою комп'ютера можливе застосування математичних методів і в нетрадиційних областях, де не вдається побудувати компактні математичні моделі на зразок диференціальних рівнянь, але вдається побудувати моделі, доступні запам'ятовуванню і вивченню на комп'ютері. Моделі для комп'ютерів в цих випадках являють собою цифрове кодування схеми, досліджуваного об'єкта (наприклад, мови) і відносин між його елементами (словами, фразами). Сама можливість вивчення таких моделей на комп'ютері стимулює поява цих моделей, а для створення осяжній моделі необхідно виявлення законів, що діють у вихідних об'єктах. З іншого боку, одержувані на комп'ютері результати (наприклад, машинний переклад спрощених текстів з однієї мови на іншу) вносять критерій практики в оцінку теорій (наприклад, лінгвістичних теорій), покладених в основу математичної моделі.
Завдяки комп'ютерам стало можливим розглядати імовірнісні моделі, які потребують великого числа пробних розрахунків, імітаційні моделі, які відображають модельовані властивості об'єкта без спрощень (наприклад, функціональні властивості телефонної мережі).
Різноманітність завдань, де можуть бути використані комп'ютери, дуже велике. Для вирішення кожного завдання потрібно знати багато, пов'язане саме з цим завданням.
Чисельні методи розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь в лінійній алгебрі називають першою основним завданням. До неї примикають завдання обчислення визначників і елементів оберненої матриці, які іноді називають другою і третьою основними завданнями лінійної алгебри. У даній роботі описані методи обчислення визначника матриці і розроблена програма для його обчислення з використанням комп'ютера, заснована на застосуванні методу Гауса з вибором головного елемента.
1. ВИБІР І ОБГРУНТУВАННЯ чисельних методів РІШЕННЯ ЗАДАЧІ
1.1 Визначення матриці
Матрицею називають сукупність чисел, розташованих у прямокутній таблиці
,
складається з m рядків та n стовпців.
Числа називають елементами матриці. Перший індекс в позначенні елемента (i) вказує на номер рядка, а другий індекс (j) - на номер стовпця, в яких розташований цей елемент.
У нашому випадку () матриця називається прямокутною розміру. Якщо число рядків в матриці дорівнює числу стовпців (m = n), то матрицю називають квадратною порядку m.
1.2 Визначення детермінанта
Для квадратної матриці може бути введено поняття детермінанта (визначника). Детермінант матриці [A] позначають
6
або.
детермінант матриці порядку n> 1 називають число
, (1)
де - детермінант матриці порядку n-1, отриманої з матриці [A] викреслюванням першого рядка і k-ого стовпця.
Матриця порядка 1 складається з одного числа, і її детермінант по визначенню вважають рівним цьому числу:
(2)
Детермінант матриці другого порядку в Відповідно до (1) і (2) можна обчислити за такою формулою:
.
Для матриці третього порядку
Відповідно до визначення детермінант матриці четвертого порядку може бути виражений через визначник третього порядку, той у свою чергу через визначники другого порядку і т.д.
Число називають додатковим мінором елемента. Для довільного елемента матриці також можна ввести поняття додаткового мінору: - це визначник матриці, одержуваної з вихідної викреслюванням i-ой рядки і j-ого стовпця. Наприклад, для матриці [A] третього порядку додатковим мінором елемента буде визначник
Одним з важливих властивостей визначників є те, що при перестановці місцями двох рядків або двох стовпців визначника, він повинен бути помножений на -1:
.
При безпосередньому обчисленні визначників вищенаведеним способом, для відшукання рішення системи лінійних рівнянь за правилом Крамера потрібно приблизно арифметичних операцій типу множення. Використання методу виключення Гауса дозволяє зменшити час, необхідне для вирішення завдання, до величини менше однієї секунди.
1.3 Метод виключення Гауса. Обчислення визначника методом виклю...
