Зміст
Введення
1. Постановка завдання
2. Математичні та алгоритмічні основи рішення задачі
2.1 Метод прямокутників
2.2 Метод трапецій
2.3 Метод парабол (метод Сімпсона)
2.4 Збільшення точності
2.5 Метод Гаусса
2.6 Метод Гаусса-Кронрод
3. Функціональні моделі рішення задачі
4. Програмна реалізація рішення задачі
5. Приклад виконання програми
Висновок
Список використаних джерел та літератури
Введення
Поява і безперервне вдосконалення швидкодіючих електронних обчислювальних машин (ЕОМ) призвело до справді революційного перетворенню науки взагалі і математики особливо. Змінилася технологія наукових досліджень, колосально збільшилися можливості теоретичного вивчення, прогнозу складних процесів, проектування інженерних конструкцій. Рішення великих науково-технічних проблем, прикладами яких можуть служити проблеми оволодіння ядерною енергією та освоєння космосу, стало можливим лише завдяки застосуванню математичного моделювання та нових чисельних методів, призначених для ЕОМ.
В даний час можна говорити, що з'явився новий спосіб теоретичного дослідження складних процесів, що допускають математичне опис, - обчислювальний експеримент, тобто дослідження природничонаукових проблем засобами обчислювальної математики. Розробка та дослідження обчислювальних алгоритмів, і їх застосування до розв'язання конкретних завдань складає зміст величезного розділу сучасної математики - обчислювальної математики.
Чисельні методи дають наближене рішення задачі. Це означає, що замість точного рішення і (функції або функціонала) деякої задачі ми знаходимо рішення в іншої задачі, близьке в деякому розумінні (наприклад, по нормі) до шуканого. Основна ідея всіх методів - дискретизація або апроксимація (Заміна, наближення) вихідної задачі іншим завданням, більш зручною для вирішення на ЕОМ, причому рішення апроксимуючої задачі залежить від деяких параметрів, керуючи якими, можна визначити рішення з необхідною точністю. Наприклад, в задачі чисельного інтегрування такими параметрами є вузли і ваги квадратурної формули. Далі, рішення дискретної задачі є елементом конечномерного простору.
Чисельне інтегрування (історична назва: квадратура) - Обчислення значення певного інтеграла (як правило, наближене), засноване на тому, що величина інтеграла чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженою віссю абсцис, графіком інтегрованої функції і відрізками прямих, які є межами інтегрування.
Необхідність застосування чисельного інтегрування частіше всього може бути викликана відсутністю у первісної функції представлення в елементарних функціях і, отже, неможливістю аналітичного обчислення значення визначеного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца. Також можлива ситуація, коли вид первообразной настільки складний, що швидше обчислити значення інтеграла чисельним методом.
1. Постановка завдання
Сутність більшості методів обчислення визначених інтегралів полягає в заміні підінтегральна функція апроксимуючої функцією, для якої можна легко записати первісну в елементарних функціях.
Апроксимація, або наближення - математичний метод, полягає в заміні одних математичних об'єктів іншими, в тому чи іншому сенсі близькими до вихідних, але більш простими. Апроксимація дозволяє досліджувати числові характеристики та якісні властивості об'єкта, зводячи завдання до вивчення більш простих або більш зручних об'єктів (наприклад, таких, характеристики яких легко обчислюються або властивості яких вже відомі). У теорії чисел вивчаються діофантових наближення, зокрема наближення ірраціональних чисел раціональними. В геометрії розглядаються апроксимації кривих ламаними. Деякі розділи математики цілком присвячені апроксимації, наприклад, теорія наближення функцій, чисельні методи аналізу.
Також в задачах такого роду активно використовуються інтерполяційні методи знаходження значень функції.
Інтерполяція - в обчислювальній математиці спосіб знаходження проміжних значень величини за наявним дискретному набору відомих значень.
Багатьом з тих, хто стикається з науковими та інженерними розрахунками часто доводиться оперувати наборами значень, отриманих експериментальним шляхом або методом випадкової вибірки. Як правило, на підставі цих наборів потрібно побудувати функцію, на яку могли б з високою точністю потрапляти інші одержувані значення. Така задача називається апроксимацією кривої. Інтерполяцією називають таку різновид апроксимації, при якій крива побудованої функції проходить точно через наявні точки даних.
Існує також близька до інтерполяції задача, яка полягає в апроксимації якої складної функції інший, більш простий функцією. Якщо деяка функція занадто складна для продуктивних обчислень, можна спробувати обчислити її значення в декількох точках, а по ним побудувати, тобто інтерполювати, більш просту функцію. Зрозуміло, використання спрощеної функції не дозволяє отримати такі ж точні результати, які давала б початкова функція. Але в деяких класах задач досягнутий виграш у простоті і швидкості обчислень може переважити одержувану похибка в результатах.
На практиці найчастіше застосовують інтерполяцію поліномами. Це пов'язано насамперед з тим, що поліноми легко обчислювати, легко аналітично знаходити їх похідні і безліч поліномів щільно в просторі безперервних функцій.
Для вирішення нашої задачі необхідно передбачити введення необхідних даних і реалізацію контрольно прикладу.
Також необхідно реалізувати підпрограми у вигляді функцій. Головна функція буде виконувати основні дії (підрахунок значення інтеграла і висновок у файл результату), викликаючи інші підпрограми.
Головна функція буде викликати функцію підрахунку інтеграла з заданою точністю обчислень, яка в свою чергу на кожному кроці буде викликати функцію підрахунку значення функції.
Приклад 1.
Обчислимо інтеграл методом Гауса.
Рішення.
.
.
.
Відповідь: 3.584.
Приклад 2.
Обчислимо інтеграл методом Гауса.
Рішення.
.
.
.
Відповідь: - 0.588.
2. Математичні та алгоритмічні основи рішення завдання
Коротко розглянемо основні методи чисельного інтегрування і з'ясуємо, чому найкращий і швидкий метод інтегрування - десятіточечний метод Гаусса.
2.1 Метод прямокутників
Метод прямокутників виходить при заміні подинтегральних функції на константу. В якості константи можна взяти значення функції в будь точці відрізка. Найбільш часто використовуються значення функції в середині відрізка і на його кінцях. Відповідні модифікації носять назви методів середніх прямокутників, лівих прямокутників і правих прямокутників. Формула для наближеного обчислення значення визначеного інтеграла методом прямокутників має вигляд
,
де, або, відповідно.
2.2 Метод трапецій
Якщо функцію на кожному з часткових відрізків апроксимувати прямою, що проходить через кінцеві значення, то отримаємо метод трапецій.
Площа трапеції на кожному відрізку:
.
Похибка апроксимації на кожному відрізку:
,
де
.
Повна формула трапецій у разі поділу всього проміжку інтегрування на відрізки однакової довжини h:
, де
Похибка формули трапецій:
, де
2.3 Метод парабол (метод Сімпсона)
Використавши три точки відрізка інтегрування можна замінити подинтегральную функцію параболою. Зазвичай в якості таких точок використовують кінці відрізка і його середню точку. У цьому випадку формула має дуже простий вид
.
Якщо розбити інтервал інтегрування на 2N рі...
