Курсова робота
з інформатики на тему:
В«Чисельні методи рішення
систем лінійних рівнянь В»
Виконав:
студент 06-ІСТ, Фадєєва Т.В.
Перевірив:
Ловигіна М.Б.
р. Павлово
2008
Зміст.
I Теоретична частина
1. Введення ................................................. ................... 3
2. Чисельні методи ................................................ .. 6
1) Матричний метод ........................................ 6
2) Метод Крамера ............................................. 9
3) Метод Гаусса ........................................... 12
4) Ітерації для лінійних систем .............. 17
a) Ітерація Якобі ............................ 18
b) Ітерація Гауса - Зейделя .............. 20
II Практична частина
1) Матричний метод ........................................ 22
2) Метод Крамера ........................................... .. 24
3) Метод Гаусса .............................................. 26
4) Лістинг програми ............................. 28
III Користь введення розрахунків. ..................................... 65
IV I. Теоретична частину.
Введення.
Лінійна алгебра - частина алгебри, що вивчає векторні (лінійні) простору і їх підпростори, лінійні відображення (оператори), лінійні, Білінійні, і квадратичні функції на векторних просторах.
Лінійна алгебра, чисельні методи - розділ обчислювальної математики, присвячений математичному опису та дослідженню процесів чисельного рішення задач лінійної алгебри.
Серед задач лінійної алгебри найбільше значення мають дві: рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь визначення власних значень і власних векторів матриці. Інші часто зустрічаються задачі: звернення матриці, обчислення визначника і т.д.
Будь чисельний метод лінійної алгебри можна розглядати як деяку послідовність виконання арифметичних операцій над елементами вхідних даних. Якщо за будь-яких вхідних даних чисельний метод дозволяє знайти рішення завдання за кінцеве число арифметичних операцій, то такий метод називається прямим . В протилежному випадку чисельний метод називається ітераційним . Прямі методи - Це такі, як метод Гаусса, метод облямівки, метод поповнення, метод спряжених градієнтів та ін Ітераційні методи - це метод простої ітерації, метод обертань, метод змінних напрямків, метод релаксації і ін Тут будуть розглядатися матричний метод, метод Гауса і метод Крамера.
В даній роботі будуть розглянуті чисельні методи в електронних таблицях Excel і програмі MathCAD, Microsoft Visual Basic.
MathCAD .
Програма MathCAD за своїм призначенням дозволяє моделювати в електронному документі науково-технічні, а також економічні розрахунки у формі, досить близькою до загальноприйнятих ручним розрахунками. Це спрощує складання програми розрахунку, автоматизує перерахунок і побудова графічних ілюстрацій подібно електронних таблиць Excel, документування результатів як в текстовому редакторі Word.
Програма Mathcad відома за легкість, з якою математичні рівняння, текст, і графіку можуть бути об'єднані в одному документі. Крім того, обчислювальні здібності Mathcad поширюються від складання стовпця чисел до вирішення інтегралів і похідних, рішення систем рівнянь і більше.
Гідністю MathCAD є також наявність в його складі електронних книг. Одна з них - підручник з самою програмою, інші - довідник по різних розділах математики, фізики, радіоелектроніки та ін
Microsoft Office Excel .
Якщо ж говорити про програму Excel, яка є однією з найбільш відомих в обробці електронних таблиць, то без перебільшення можна стверджувати, що її можливості практично невичерпні.
Обробка тексту, управління базами даних - програма настільки потужна, що в багатьох випадках перевершує спеціалізовані програми - редактори або програми баз даних. Таке різноманіття функцій може спочатку запитати, ніж змусити застосовувати їх на практиці. Але в міру набуття досвіду починаєш гідно цінувати те, що меж можливостей Excel важко досягти.
За всю історію табличних розрахунків із застосуванням персональних комп'ютерів вимоги користувачів до подібних програм істотно змінилися. На початку основний акцент в таку програму, як, наприклад, Visi Calc , ставилося на рахункові функції. Сьогодні, положення інше. Поряд з інженерними та бухгалтерськими розрахунками організація і графічне зображення даних набувають все зростаюче значення. Крім того, різноманіття функцій, пропоноване такою розрахунковою і графічною програмою, не повинно ускладнювати роботу користувача. Програми для Windows створюють для цього ідеальні передумови.
Останнім часом багато якраз перейшли на використання Windows як свою користувача середовища. Як наслідок, багато фірм, що створюють програмне забезпечення, почали пропонувати велику кількість програм для Windows.
Visual Basic .
Microsoft Visual Basic - це потужна система програмування, що дозволяє швидко і ефективно створювати додатки для Microsoft Windows. На відміну від Excel і MathCAD це найбільш зручна програма для розв'язання систем лінійних рівнянь. Простий користувальницький інтерфейс, що дозволяє легко переключатися з проекту форми на сам код програми.
Зручне вікно для коду самої програми:
Чисельні методи.
Розв'язність системи лінійних рівнянь.
Коли ми говоримо про головною матриці системи лінійних рівнянь, то завжди маємо на увазі квадратну матрицю n Г— n, тобто матрицю з однаковою кількістю рядків і стовпців. Це важливо.
Якщо, наприклад, кількість рядків (кількість рівнянь в системі) буде менше, ніж кількість стовпців (фактично, кількості невідомих), то система буде невизначеною, тобто ми не зможемо однозначно визначити всі невідомі (вирішити систему).
Але це не єдине обмеження. З векторної алгебри відомо, що система лінійних рівнянь має рішення (однозначне) тоді і тільки тоді, коли її головний визначник не дорівнює нулю: О” в‰ 0.
Розглянемо випадок, коли визначник системи дорівнює нулю. Тут можливі два варіанти:
1. О” = 0 і кожен з додаткових визначників О”x i = 0. Це має місце тільки тоді, коли коефіцієнти при невідомих x i пропорційні, тобто кожне рівняння системи виходить з першого рівняння множенням обох його частин на число k. При цьому система має незліченну безліч рішень.
2. О” = 0 і хоча б один додатковий визначник О”x i в‰ 0. Це має місце тільки тоді, коли коефіцієнти при всіх невідомих x i , пропорційні. При цьому виходить система з суперечливих рівнянь, яка не має рішень.
Матричний метод розв'язання систем лінійних рівнянь.
Нехай дана система лінійних рівнянь:
Розглянемо матрицю, складену з коефіцієнтів при невідомих:
Вільні члени та невідомі можна записати у вигляді матриці стовпців:
Тоді, використовуючи правило множення матриць, цю систему рівнянь можна записати так:
або
A В· x = b. (1)
Рівність (1) називається матричним рівнянням або системою рівнянь в матричному вигляді.
Матриця А коефіцієнтів при невідомих називається головною матрицею системи.
Іноді розглядають також розширену матрицю системи, тобто головну матрицю системи, доповнену стов...
