Міністерство освіти і науки Республіки Казахстан
Карагандинський Державний Технічний Університет
Кафедра ____ САПР______
ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА
З дисципліни: "Математичне забезпечення САПР"
Тема: "Порівняльний аналіз чисельних методів"
Керівник
(підпис) (Дата)
Студент
(підпис) (Дата)
2009
Зміст
Введення
1. Постановка завдання
2. Методи рішення нелінійних рівнянь
2.1 Загальні відомості
2.2 Метод дотичних (метод Ньютона)
2.2.1 Загальні відомості
2.2.2 Рішення нелінійного рівняння методом дотичних
2.3 Метод хорд
2.3.1 Загальні відомості
2.3.2 Рішення нелінійного рівняння методом хорд
2.4 Висновок
2.5 Метод простих ітерацій
2.5.1 Загальні відомості
2.5.2 Рішення нелінійного рівняння методом простих ітерацій
2.6 Програма для розв'язання нелінійних рівнянь
3. Рішення нелінійних рівнянь методом інтерполювання
3.1 Інтерполяція
3.2 Многочлен Лагранжа
3.3 Інтерполяція сплайнами
3.4 Використання інтерполяції на практиці
3.4.1 Інтерполяція за допомогою многочлена Лагранжа
3.4.2 Зворотній інтерполяція
3.4.3 Інтерполяція сплайнами
3.5 Програма для використання інтерполяції
4. Ітераційні методи рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь
4.1 Загальні відомості
4.2 Метод простої ітерації
4.2.1 Опис методу
4.2.2 Рішення СЛАР методом простих ітерацій
4.2.3 Програма для розв'язку СЛАР методом простих ітерацій
4.3 Метод Зейделя
4.3.1 Опис методу
4.3.2 Рішення СЛАР методом Зейделя
4.3.3 Програма дл розв'язку СЛАР методом Зейделя
4.4 Порівняльний аналіз
5. Порівняльний аналіз різних методів чисельного диференціювання і інтегрування
5.1 Методи чисельного диференціювання
5.1.1 Опис методу
5.1.2 Знаходження похідної
5.2 Методи чисельного інтегрування
5.2.1 Загальні відомості
5.2.2 Знаходження визначеного інтеграла
5.3 Рішення ОДУ
5.3.1 Рішення ОДУ методом Ейлера
5.3.2 Рішення ОДУ методом Рунге-Кутта
6.Чісленние методи вирішення звичайних диференціальних рівнянь
6.1 Загальні відомості
6.2 Метод Ейлера
Висновок
Список використаної літератури
Введення
На практиці в більшості випадків знайти точне рішення виникла математичної задачі не вдається. Це відбувається головним чином не тому, що ми не вміємо цього зробити, а оскільки дані рішення зазвичай не виражається в звичних для нас елементарних або інших відомих функціях. Тому важливого значення набули чисельні методи, особливо у зв'язку із зростанням ролі математичних методів в різних галузях науки і техніки та з появою високопродуктивних ЕОМ.
Під чисельними методами маються на увазі методи рішення задач, що зводяться до арифметичним і деяким логічним діям над числами, тобто до тих дій, які виконує ЕОМ.
В даний час з'явилося значне число різних програмних продуктів (MathCAD, MathLAB і т.д.), за допомогою яких, задаючи тільки вхідні дані, можна вирішити значну кількість завдань.
Звичайно, використання таких програмних продуктів значно скорочує час і ресурси щодо вирішення низки важливих завдань. Однак, використання цих програм без ретельного аналізу методу, за допомогою якого вирішується завдання, не можна гарантувати, що задача вирішена правильно. Тому для більш повного розуміння того, як здійснюється розрахунок різного виду рівнянь і їх систем, необхідно теоретично вивчити методи їх вирішення і на практиці їх опрацювати.
Метою виконання даного курсового проекту є придбання практичних навичок вирішення нелінійних рівнянь, системи лінійних алгебраїчних рівнянь, звичайних диференціальних рівнянь різними чисельними методами.
1. Постановка завдання
Порядок виконання:
За ітераційним методам вирішення нелінійних рівнянь:
Визначити корінь в заданому або будь-якому вибраному відрізку методом хорд, дотичних, простих ітерацій.
Використовуючи результати рішень, вказати найменший отриманий відрізок, в якому міститься корінь рівняння.
Для кожного методу і кожного завдання побудувати графік функції на [ a, b] та переконатись у виконанні умови збіжності ітераційної процедури.
Використовуючи функції f ( x) з п.1, побудувати інтерполяційний многочлен L 4 (x) на [ a, b], використавши в якості вузлових a і b, інші необхідні вузлові точки вибрати, розділивши проміжок [ a, b] на майже рівні частини. Обчислити значення f (x) і L 4 (X) в двох точках, одна з яких - середина крайньої частини, а друга - середина частини, яка містить точку. Порівняти отримані величини. Використовуючи ці ж вузлові точки, провести зворотну інтерполяцію і визначити значення х при y = 0 . Отриманий результат порівняти з раніше знайденим рішенням рівняння.
Порівняти результати розв'язку СЛАР методом простої ітерації і методом Зейделя на різних кроках ітерації.
Провести порівняльний аналіз різних методів чисельного диференціювання і інтегрування.
Знайти чисельне рішення звичайного диференціального рівняння методом Ейлера та уточненими методом Ейлера з 5-ма і 20-ма кроками і порівняти їх, якщо можливо з результатом точного рішення ОДУ.
2. Методи рішення нелінійних рівнянь
2.1 Загальні відомості
Розглянемо рівняння виду f (x) = 0, (2.1), де f (x) - будь-яка нелінійна функція.
Коренем рівняння ( 2.1) називається значення, при якому. Способи наближеного рішення, тобто алгоритм вирішення, передбачає визначення x * c деякої наперед заданою точністю.
Для знаходження коренів рівняння (2.1) розрізняють наступні два етапи.
Відділення (локалізації) коренів, тобто знаходження таких інтервалів по аргументу x, усередині кожного з яких існує тільки один корінь рівняння (2.1). Якщо у функції на кінцях досліджуваного відрізка [a, b] функція має різні знаки, то на цьому відрізку функція має не менше одного кореня. Якщо ж однакові знаки, то функція може не мати коріння або мати парне число коренів. Отже, локалізація полягає в тому, що необхідно встановити відрізки, на яких є зміна знаків функції і, крім того, виконана умова єдиності кореня, тобто функція на цьому відрізку повинна матиме першу похідну з постійним знаком. З умови збіжності ітераційної послідовності також потрібно, щоб друга похідна не міняла знак, тобто на досліджуваному відрізку функція балу б тільки опуклою або увігнутою.
Уточнення коренів полягає в застосуванні деякого ітераційного методу, в результаті якого корінь рівняння (2.1) може бути отриманий з будь-якою наперед заданою точністю Оµ. При цьому, зупиняючи процес на який-небудь кінцевої ітерації, необхідно оцінити похибку по порівнянні з точним коренем, який невідомий. Обраний метод дозволяє побудувати послідовність х 1 , х 2 , х 3 , ..., х k , ... Наближень до кореня. Ітераційний процес полягає у послідовному уточненні початкового наближення х0. Кожен такий крок називається ітерацією. В Внаслідок ітерацій знаходить...
