Міністерство освіти і науки Російської Федерації
Федеральне агентство за освітою
Державне освітня установа вищої професійної освіти
Якутський державний університет імені М.К. Аммосова
Інститут математики та інформатики
Кафедра прикладної математики
Дипломна робота
"Різницеві схеми для рівняння переносу на нерівномірних сітках "
"Спеціальність 010501.65-
Прикладна математика та інформатика "
Спеціалізація "Математичне моделювання"
Едісеева Зоя Микитівна
Науковий керівник: Охлопков Н.М
к.ф-м.н. професор
Рецензент: Миколаїв Володимир Єгорович
к.ф.-м.н., доцент
Якутськ 2009
Зміст
Введення
Глава I. Основні поняття різницевих схем
1.1 Сіткова область
1.2 Сіткова функція. Простір сіткових функцій. Норми сіткових функцій
1.3 Апроксимація диференціальних операторів
1.4 Різницева схема
1.5 Коректність різницевої схеми
1.6 Апроксимація і збіжність
1.7 Нерівномірна сітка
1.7.1 Побудова сіткової області
1.7.2 Формування сітки
Глава II. Одномірне рівняння переносу з змінними коефіцієнтами
2.1 Постановка завдання
2.2 "Явні" схеми
2.3 Неявні схеми
2.3.1 Центрально-різницева схема
2.3.2 Триточкове схема з вагою
Глава III. Одномірне рівняння переносу з постійними коефіцієнтами
3.1 Постановка завдання
3.2 Схема біжить рахунки
3.3 Неявні схеми
3.3.1 Центрально-різницева схема
3.3.2 Триточкове схема вагою
3.3.3 Схема "прямокутник"
3.3.4 Схема зі згладжуванням
3.3.5 Схема прямокутник зі згладжуванням
3.3.6 "Шахова" схема
Висновок
Використана література
Додаток 1
Додаток 2
Додаток 3
Додаток 4
Додаток 5
Додаток 6
Введення
Обчислювальну математику у вузькому сенсі розуміють як теорію чисельних методів і алгоритмів вирішення широкого кола математичних задач.
У цьому сенсі теорія різницевих схем - це розділ обчислювальної математики, що вивчає методи наближеного рішення диференціальних рівнянь шляхом їх заміни звичайно-різницевим рівняннями (різницевими схемами).
Різницева схема повинна задовольняти наступним основним вимогам:
1.Визначення порядок апроксимації, стійкість економічність, консервативність, однорідність.
2.Важной характеристикою різницевої схеми, що встановлює її зв'язок з вихідним диференціальним рівнянням, є похибка апроксимації, визначена як величина нев'язки, яка виникає при підстановці в різницеву схему рішення вихідної завдання.
Від того, в якому сенсі дана схема апроксимує задачу, залежить вибір методу дослідження точності схем і тип апріорних оцінок, що виражають стійкість по правій частині.
Стійкість є внутрішньою властивістю різницевої схеми, яка вивчається незалежно від апроксимації і збіжності.
Об'єктом дослідження обрані різницеві схеми, аппроксимирующие вихідну задачу.
Мета дипломної роботи - вибір найбільш стійкою різницевої схеми.
Для досягнення мети поставлені наступні завдання:
- розглянути різницеві методи вирішення для рівнянь переносу з змінними та постійними коефіцієнтами на нерівномірних сітках;
- виконати чисельний експеримент розглянутих схем.
Глава I . Основні поняття теорії різницевих схем
Для чисельного рішення задач з диференціальних рівнянь методом сіток (кінцевих різниць) необхідно виконати наступне. Область безперервної зміни аргументу (Аргументів) шуканої функції замінюється кінцевим дискретним безліччю точок , Званих вузлами сітки. Всі похідні, що входять в диференціальну задачу, замінюються різницевими похідними. Це здійснюється тим або іншим методом конструювання різницевих схем. В остаточному підсумку отримуємо систему алгебраїчних рівнянь. Таким чином, сутність методу сіток, в даний час самого універсального решателя диференціальних рівнянь, полягає в заміни вихідних диференційних завдань системами алгебраїчних рівнянь, їх наближено замінюють.
Якщо при подрібненні кроків сітки рішення різницевої схеми сходиться до вирішення вихідної диференціальної задачі, то за рішення вихідної задачі приймається рішення різницевої схеми. Після конструювання різницевої схеми необхідно провести теоретичні дослідження розв'язності задач. Внутрішніми властивостями різницевої схеми є апроксимація і стійкість. Ці властивості різницевої схеми повинні досліджуватися для кожної схеми.
Отримувані різницеві схеми вирішуються тими чи іншими методами розв'язання систем алгебраїчних рівнянь. Дозволяючий алгоритм повинен бути економічним і цим же вимогам повинна володіти та різницева схема.
1.1 Сіткова область
Для побудови різницевої схеми необхідно побудувати сітку G h -кінцеве безліч точок, що належать G, щільність розподілу яких характеризується параметрами h-кроком сітки. Нехай область зміни аргументу x є відрізок G = {0 ≤ x ≤ 1}. Розіб'ємо цей відрізок точками x i = i в€™ h, i = 0, n на n рівних частин довжини h = 1/n кожна. Безліч точок x i = i в€™ h, називається рівномірною сіткою на відрізку 0 ≤ x ≤ 1 і позначимо = {x i = i в€™ h, i = 0, n}, а число h-відстань між точками (вузлами) сітки називається кроком сітки. Розбиття відрізка 0 ≤ x ≤ 1 точками x i , i = 0, n можна виробляти довільним чином - 0 1 <... n -1 <1. Тоді отримуємо сітку = {x i , i = 0, n, x 0 = 0, x n = 1} c кроками h i = x i -x i -1 , яке залежить від номера вузла сітки. Якщо h i в‰ h i +1 хоча б в одній точці, то сітка називається нерівномірною і таку сітку позначають Еµ. Точки x 0 і x n назвемо граничними вузлами і позначимо їх г h . Інші вузли назвемо внутрішніми і позначимо їх w h . Вузли сусідні з граничащими назвемо прикордонними. Тоді маємо
= w h г h .
1.2 Сіткова функція. Простір сіткових функцій. Норми сіткових функцій
Функція y = y (x i ) дискретного аргументу x i називається сіткової функцією, визначеною на сітці. Сіткові функції можна розглядати як функції цілочисельного аргументу, який є номером вузла сітки, тобто y = y (x i ) = y (i). Далі ми будемо писати y (x i ) = y i .
Сіткова область w h залежить від параметра h. При різних значеннях параметра h маємо різні сіткові області. Тому і сіткові функції y h (x) залежать від параметра h.
Функції u (x) неперервного аргументу є елементами функціонального простору H. Безліч сіткових функцій y h (x) утворює простір H h . Таким чином, в методі сіток простір H, замінюється простором H h сіткових функцій y h (x).
Так як розглядається безліч сіток {w h }, то ми отримуємо безліч {H h } просторів сіткових функцій, визначених на {w h }.
Нехай u (x) - розв'язок вихідної безперервної завдання
Lu (x) = f (x), (1)
; y h - рішення різницевої задачі,. Для теорії наближених обчислень представляє великий інтерес оцінка близькості u (x) і y h (x), але u (x) і y h (x) є елементами з різних просторів. Простір H відображається на простір H h . К...
