МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ
Федеральне агентство з освіти
Державне освітня установа
Вищого професійної освіти
В«Оренбурзький державний університет В»
Факультет економіки та управління
Кафедра математичного забезпечення інформаційних систем
КУРСОВА РОБОТА
з дисципліни В«Чисельні методиВ»
Прямий метод обертання вікового визначника
ОГУ 061800.8006.18 ТОВ
Керівник роботи
____________________Ващук І.М.
В«_____В» _______________ 2006
Виконавець студент гр. 04ММЕ
________________Шіробоков П.Д.
В«_____В» ________________ 2006
Оренбург 2006
Зміст
Введення. 3
Постановка завдання .. 4
Опис методу. 5
Збіжність методу. 8
Опис вхідних та вихідних даних .. 9
Висновок. 10
Список літератури .. 11
Додаток А. .. 12
Додаток Б.. 19
Введення
Чисельні методи рішення проблеми власних значень до кінця 40-х років, зводилися, в основному, до рішенням характеристичного рівняння. При реалізації такого підходу, основні зусилля були спрямовані на розробку ефективних методів швидкого обчислення коефіцієнтів характеристичного рівняння. Такі методи мають назви прямих. Популярним методом цього типу є метод Данилевського. Він давав досить велику погрішність, але в теж час мав дуже велику швидкість отримання результату.
Ми зробимо спробу аналізу можливості використання цього методу в сучасних умовах. Спробуємо позначити можливі межі застосування цього методу, і так само знайти галузі науки, де користуватися методом Данилевського було б дуже зручно.
Постановка завдання
Велике число завдань математики та фізики вимагає відшукання власних значень і власних векторів матриць, тобто відшукання таких значень +, для яких існують нетривіальні рішення однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь
, (1)
і відшукання цих нетривіальних рішень.
Тут-квадратна матриця порядку m, - невідомий вектор - стовпець.
З курсу алгебри відомо, що нетривіальне рішення системи (1) існує тоді і тільки тоді, коли
, (2)
де Е - одинична матриця. Якщо розкрити визначник, отримаємо алгебраїчне рівняння ступеня m щодо. Таким чином задача відшукання власних значень зводиться до проблеми розкриття визначника по ступенях і подальшого вирішення алгебраїчного рівняння m - го ступеня.
Визначник називається характеристичним (або віковим) визначником, а рівняння (2) називається характеристичним (або віковим) рівнянням.
Розрізняють повну проблему власних значень, коли необхідно відшукати всі власні значення матриці А та відповідні власні вектори, і часткову проблему власних значень, коли необхідно відшукати тільки деякі власні значення, наприклад, максимальне по модулю власне значення.
Опис методу
Ідея методу Данилевського полягає в тому, що матриця А приводиться до "нормальної формі Фробеніуса", має вигляд:.
Характеристичне рівняння для матриці Р має простий вигляд
тобто коефіцієнти при ступенях характеристичного полінома безпосередньо виражаються через елементи першого рядка матриці Р.
Приведення матриці А до нормальній формі Фробениуса Р здійснюється послідовно построкам, починаючи з останнього рядка.
1. Наведемо матрицю
до виду
Нехай Можна перевірити, що такий вид має матриця, яка дорівнює
де
Наступний крок - приведення подібним перетворенням до .
Таким чином
І так далі:
2. Розглянемо нерегулярний випадок, коли матриця, отримана в результаті подібних перетворень приведена вже до виду
і елемент.
Таким чином звичайна процедура методу Данилевського не підходить із-за необхідності ділення на нуль. В цій ситуації можливо два випадки.
2.1 Припускаємо, що лівіше є елемент Тоді домножити матрицю зліва і справа на елементарну матрицю перестановок, одержуємо матрицю.
В результаті на необхідному нам місці виявляється ненульовий елемент, вже перетворена частина матриці не змінюється, можна застосовувати звичайний крок методу Данилевського до матриці.
2.2 Розглянемо другий нерегулярний випадок, коли в матриці елемент і всі елементи лівіше, теж нульові. У цьому випадку характеристичний визначник матриці можна представити у вигляді
де і - Одиничні матриці відповідної розмірності, а квадратні матриці і имееют вигляд:
Звернемо увагу на те, що матриця вже має нормальну форму Фробеніуса, і тому співмножник просто розгортається у вигляді багаточлена з коефіцієнтами, рівними елементів першого рядки.
співмножників потрібно перетворювати. Для розгортання можна застосовувати метод Данилевського, приводячи матрицю подібними перетвореннями до нормальної форми Фробеніуса.
Зазначений підхід стає незадовільним при обчисленні власних значень матриць, мають порядок m в кілька десятків (і тим більше сотень). Зокрема, одним з недоліків є так само те, що точність обчислення коренів многочлена високого ступеня даним методом надзвичайно чутлива до похибки (Накапливающейся зі швидкістю геометричної прогресії) в коефіцієнтах, і на етапі обчислення останніх може бути в значній мірі втрачена інформація про власні значеннях матриці.
Тести методу і ПО см. В Додатку Б.
Збіжність методу
Визначення. Квадратна матриця Р порядку m називається подібній матриці А, якщо вона представлена у вигляді, де S - невиродженная квадратна матриця порядку m.
Теорема. Характеристичний визначник вихідної й подібної матриці збігаються.
Доказ.
Ідея методу Данилевського полягає в тому, що матриця А подібним перетворенням наводиться, до так званої нормальної формі Фробеніуса
.
Теорема. Нехай є є власне значення , А є відповідний власний вектор матриці Р, яка подібна матриці А, тобто
Тоді є власний вектор матриці А, що відповідає власному значенню
Доказательство.Трівіально випливає з того, що
домножити ліву і праву частина цієї рівності зліва на S, маємо
А це і означає, що-власний вектор матриці А, що відповідає власному значенню
Опис вхідних і вихідних даних
Вхідні параметри:
Квадратна матриця порядку n * n. Рекомендується, щоб вона була добре обумовлена.
Вихідні параметри:
Отримуємо коефіцієнти при ступенях характеристичного полінома. Вирішуючи дане рівняння отримуємо власні значення вихідної матриці. Наступним кроком є ​​визначення власних векторів.
.
Висновок
Позначимо деякі висновки за виконану роботу:
Під час освоєння даного методу ми не могли пропустити деякі мінуси методу Данилевського:
- Похибка накопичується зі швидкістю геометричної прогресії.
- Доводиться вирішувати досить складне рівняння порядку n (якщо вирішувати за допомогою наближених метод, знову отримуємо деяку погрішність)
- У програмному варіанті використовуються досить великі обсяги оперативної пам'яті, до прикладу, доводиться зберігати до 4 матриць порядку n * n.
Але так само не можна не зупинитися на очевидних плюсах методу:
- Метод зручний для знаходження власних векторів практично будь матриці. Рекомендується розглядати матриці менше порядку декількох десятків.
- Даний метод дуже зручний в програмуванні (на етапі розробки ПЗ проблем практично не виникало).
У цілому метод таки не рекомендується для вирішення завдань, що вимагають високої точності. Але через свою простоти, і високій швидкості, пі...
