МІНІСТЕРСТВО освіти и науки України
Дніпропетровський національний університет
механіко-математичний факультет
Кафедра обчіслювальної механікі и міцності конструкцій
Курсова робота
з чисельного методiв
на тему:
Інтегралі Зі зміннімі границями
Виконавець студент групи МД-01-1 Ромащук Р. В.
Керівник старший викладач Гарт Е.Л.
Дніпропетровськ
2003 р.
Ця курсова робота мiстить в собi такi теоретічнi питання, Як В«визначеня інтеграл Зі змінною верхньої межею. Властивості визначеного інтегралу Зі змінною верхньої межею. Чісельні методи знаходження визначеного інтегралу Зі змінною верхньої межею В», розв'язок за допомог обчіслювальної машини задачi для знаходження визначеного інтеграла Зі зміннімі границями інтегрування, а кож наведенi Висновки, на основi отриманого результатiв.
З М I С Т
Постановка задачi ......................................................................................... 4
1. Постановка Задачі чисельного інтегрування ............................................... 6
2. Квадратурні
2.1. Формула
2.2. Формула
2.3. Формула парабол (Сімпсона) ............................................... ................ 9
3. Чісельні методи знаходження визначеного
інтеграла Зі змінною верхніх межею ................................................. ........ 10
4. Опіс обчислювальних алгоритмом ................................................. 10
5. Обговорювання результатів ......................................................... 11
Список посилання ........................................................................... 13
А Опіс віхiдніх даніх та результатiв розрахунку ..................... 14
У Схема обчислювальних алгоритму ..................................... 15
З Лiстiнг Програми ............................................................. 18
Постановка Задачі
За допомог квадратурних формул обчісліті визначеня інтеграл Зі мінною границею
(1)
Побудуваті сітку, и скластись таблицю значень інтеграла на Цій сітці f n = f ( x )
За квадратурні формули вісокої точності. Тоді
x n ВЈ x ВЈ x n +1
В С Т У П
У практичних розрахунках, у т.ч. в завданнях механікі, нерідко вінікає необхідність обчислення визначених інтегралів
де Під інтегральна функція f ( x ) неперервно відрізку [ < i> a , b ] , а ваговий функція r ( x ) неперервно на інтервалі ( a , b ) .
До чисельного знаходження інтеграла звертають тоді, коли Його або Неможливо віразіті через елементарні функції, або підінтегральна функція задана таблично, а кож коли внаслідок інтегрування приходять до незручного для Використання виразі. Формули чисельного знаходження визначених інтегралів назіваються квадратурні формули. Побудова квадратурних формул грунтується на заміні складної підінтегральної функції Деяк більш простою, інтеграл від якої лягли обчісліті. Вінікаюча при цьому похібка назівається похібкою квадратурної формули. Най простіші квадратурні формули можут буті Отримані Із простих геометричних міркувань.
1. Постановка Задачі чисельного інтегрування
Нехай потрібно знайте визначеня інтеграл
(1.1)
де функція f ( x ) неперервно відрізку [ a , b ] , а ваговий функція r ( < i> x ) неперервно на інтервалі ( a , b ) . Тоді f ( x ) набліжають такою функцією j ( x ; C ) от якої інтеграл легко взяти в елементарних функціях. Завдякі лінійності Такої апроксімації відносно параметрів c i функцію можна запісаті так:
(1.2)
де r ( x ) - залішковій член апроксімації. Підставляємо (1.2) в (1.1), отрімаємо Загальну формулу чисельного інтегрування - Квадратурні формули:
;
де х i - вузлі, з i - ваги, R - залішковій член. Інтеграл пріблізно заміняється сумою, схожою на інтегральну суму, причому вузлі та коефіцієнті цієї суми НЕ залежався от f ( x ) .
2. Квадратурні формули.
2.1. Формула прямокутніків.
Пріпустімо, Що f ГЋ C 2 [ - h /2, h /2] , h> 0 .
(2.1.1)
де f 0 = f (0) , тобто площа кріволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком функції f (x) , апроксімується площе прямокутник, висота Якого дорівнює значенню f (x) в середній точці трапеції (Мал. 2.1.1).
малий. 2.1.1. Формула прямокутніків
Знайдемо залішковій член, тобто похібку формули (2.1.1). Нехай
(2.1.2)
Тому що F (0) = 0 , F / (0) = f 0 , F // (0) = f / 0 ,
то відповідно до формули Тейлора з залішковім членом у формі Лагранжа маємо
(2.1.3)
де x - , x + - деякі точки,-h/x - +
Функція F ( x ) є первісної для f ( x ) . Тому для інтеграла, Що Стоїть в лівій частіні набліженої рівності (2.1.1), з формули Ньютона-Лейбніца з розрахунку (2.1.3) віпліває Наступний співвідношення
Ззвідсі одержуємо формулу прямокутніків Із залішковім членом:
(2.1.4)
2.2. Формула трапецій.
Нехай f ГЋ C 2 [ 0 , h ] , h> 0
(2.2.1)
де f 0 = f (0) , f 1 = f ( h ) тобто інтеграл пріблізно заміняється площе заштріхованої трапеції, показаної на малюнку (Мал. 2.2.1).
малий. 2.2.1. Формула трапецій.
Знайдемо залішковій член, тобто похібку формули (2.2.1). Віразімо f 1 та F 1 = F ( h ) де F - функція (2.1.2), по формулі Тейлора з залішковім членом в інтегральній формі (*) :
(*)
(2.2.2)
(2.2.3)
Згідно (2.2.1) маємо
(2.2.4)
Відокремівші в правій частіні (2.2.3) доданок hf 0 /2 и замінівші Його вираженість ( 2.2.4), з урахування того, Що
знаходимо
Перетворімо тепер інші доданок у правій частіні, вікорістовуючі узагальнення теорему про Середнє. Тому що ( h - t ) t Ві 0 , t ГЋ [0, t ] то за теоремою
де x ГЋ [ a , b ] - Деяка точка. Підставляючі Отримання в (*), пріходімо до формули трапецій Із залішковім членом:
(2.2.5)
2.3. Фо...
