МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ
Контрольна робота
З ДИСЦИПЛІНИ
В«ЕконометрикаВ»
2007
Завдання до контрольній роботі :
1. Метод найменших квадратів для однофакторний лінійної регресії
2. Знайти коефіцієнт еластичності для зазначеної моделі в заданій точці X. Зробити економічний аналіз.
Модель: Y = (2/X) + 5; X = 0;
3. Збитковість вирощування овочів в сільськогосподарських підприємствах та рівні факторів (збір овочів з 1 га, ц і витрати праці, людино-годин на 1 ц), її формують, характеризуються такими даними за рік:
№ району
Фактор
Рівень збитковості,%
Збір овочів з 1 га, ц
Витрати праці, людино-годин на 1 ц
1
93,2
2,3
8,8
2
65,9
26,8
39,4
3
44,6
22,8
26,2
4
18,7
56,6
78,8
5
64,6
16,4
34
6
25,6
26,5
47,6
7
47,2
26
43,7
8
48,2
12,4
23,6
9
64,1
10
19,9
10
30,3
41,7
50
11
28,4
47,9
63,1
12
47,8
32,4
44,2
13
101,3
20,2
11,2
14
31,4
39,6
52,8
15
67,6
18,4
20,2
нелінійних залежність прийняти
1. Метод найменших квадратів для однофакторний лінійної регресії
Лінійна регресія знаходить широке застосування в економетрики у вигляді чіткої економетричної інтерпретації її параметрів. Лінійна регресія зводиться до знаходження рівняння виду:
Е¶ = а + bx або Е¶ = a + bx + Оµ;
Рівняння виду Е¶ = а + bx дозволяє за заданим значенням фактора x мати теоретичні значення результативної ознаки, підставляючи в нього фактичні значення фактора X. На графіку теоретичні значення представляють лінію регресії.
X
Рисунок 1 - Графічна оцінка параметрів лінійної регресії
Побудова лінійної регресії зводиться до оцінки її параметрів - а й b. Оцінки параметрів лінійної регресії можуть бути знайдені різними методами. Можна звернеться до поля кореляції і, вибравши на графіку два точки, провести через них пряму лінію. Далі за графіком можна визначити значення параметрів. Параметр a визначимо як точку перетину лінії регресії з віссю OY, а параметр b оцінимо, виходячи з кута нахилу лінії регресії, як dy/dx, де dy - прирощення результату y, а dx - прирощення фактора x, тобто Е¶ = а + bx.
Класичний підхід до оцінювання параметрів лінійної регресії заснований на методі найменших квадратів (МНК).
МНК дозволяє одержати такі оцінки параметрів a і b, при яких сума квадратів відхилень фактичних значень результативної ознаки (y) від розрахункових (Теоретичних) мінімальна:
ОЈ (Y i - Е¶ xi ) 2 в†’ min
Іншими словами, з усього безлічі ліній лінія регресії на графіку вибирається так, щоб сума квадратів відстаней по вертикалі між точками і цією лінією була б мінімальною.
Оµ i = Y i - Е¶ xi .
отже ОЈОµ i 2 в†’ min
Y
X
Малюнок 2 - Лінія регресії з мінімальною дисперсією залишків
Щоб знайти мінімум функції, треба обчислити приватні похідні по кожному з параметрів a і b і прирівняти їх до нуля.
Позначимо ОЈОµ i 2 через S, тоді
S = ОЈ (Y -Е¶ xi) 2 = ОЈ (Ya-bx) 2 ;
Диференціюючи цей вираз, вирішуємо систему нормальних рівнянь, отримуємо наступну формулу розрахунку оцінки параметра b:
b = (Ух - у • x)/(x 2 -x 2 ).
Параметр b називається коефіцієнтом регресії. Його величина показує середня зміна результату зі зміною фактора на одну одиницю. Наприклад, якщо в функції витрат Е¶ = 3000 + 2x (де x - кількість одиниць продукції, у - витрати, тис. грн.) зі збільшенням обсягу продукції на 1 од. витрати виробництва зростають в середньому на 2 тис. грн., тобто додатковий приріст продукції на од. вимагатиме збільшення витрат в середньому на 2 тис. грн.
Можливість чіткої економічної інтерпретації коефіцієнта регресії зробила лінійне рівняння регресії достатньо поширеним в економетричних дослідженнях.
2. Знайти коефіцієнт еластичності для зазначеної моделі в заданій точці X. Зробити економічний аналіз.
Модель: Y = (2/ X) + 5; X = 0;
Відомо, що коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться в середньому результат, якщо фактор зміниться на 1%. Фо...
