Контрольна робота
На тему: "Мода. Медіана. Способи їх розрахунку "
Введення
Середні величини і пов'язані з ними показники варіації грають в статистиці дуже велику роль, що обумовлено предметом її вивчення. Тому дана тема є однією з центральних в курсі.
Середня є дуже поширеним узагальнюючим показникам в статистиці. Це пояснюється тим, що тільки за допомогою середньої можна охарактеризувати сукупність за кількісно варьирующему ознакою. Середньою величиною в статистиці називається узагальнююча характеристика сукупності однотипних явищ з якого-небудь кількісно варьирующему ознакою. Середня показує рівень цієї ознаки, віднесений до одиниці сукупності.
Вивчаючи суспільні явища і прагнучи виявити їх характерні, типові риси в конкретних умовах місця і часу, статистики широко використовують середні величини. За допомогою середніх можна порівнювати між собою різні сукупності по варьирующим ознаками.
Середні, які застосовуються в статистиці, належать до класу степеневих середніх. З статечних середніх найбільш часто застосовується середня арифметична, рідше - середня гармонійна; середня гармонійна застосовується тільки при обчисленні середніх темпів динаміки, а середня квадратична - тільки при обчисленні показників варіації.
Середня арифметична є частка від ділення суми варіант на їх число. Вона застосовується в тих випадках, коли обсяг варьирующего ознаки для всієї сукупності утворюється як сума значень ознаки в окремих її одиниць. Середня арифметична - найбільш поширений вид середніх, так як вона відповідає природі суспільних явищ, де обсяг варіюють ознак у сукупності найчастіше утворюється саме як сума значень ознаки у окремих одиниць сукупності.
За своїм визначаються властивостями середня гармонійна повинна застосовуватися тоді, коли загальний обсяг ознаки утворюється як сума зворотних значень варіант. Її застосовують тоді, коли в залежності від має матеріалу ваги припадати не множити, а ділити на варіанти або, що те ж саме, множити на зворотне їх значення. Середня гармонійна в цих випадках - це величина зворотна середньої арифметичної із обернених значень ознаки.
До середньої гармонійної слід вдаватися в тих випадках, коли в якості ваг застосовуються не одиниці сукупності - носії ознаки, а твори цих одиниць на значення ознаки.
1. Визначення моди і медіани в статистиці
Середні арифметична і гармонійна є узагальнюючими характеристиками сукупності з того чи іншого варьирующему ознакою. Допоміжними описовими характеристиками розподілу варьирующего ознаки є мода і медіана.
Модою в статистиці називається величина ознаки (варіанта), яка найчастіше зустрічається в даній сукупності. У варіаційному ряду це буде варіанта, що має найбільшу частоту.
медіа в статистиці називається варіанта, яка знаходиться в середині варіаційного ряду. Медіана ділить ряд навпіл, по обидва боки від неї (вгору і вниз) знаходиться однакову кількість одиниць сукупності.
Мода і медіана у відмінності від статечних середніх є конкретними характеристиками, їх значення має якась конкретна варіанти у варіаційному ряду.
Мода застосовується в тих випадках, коли потрібно охарактеризувати найбільш часто зустрічається величину ознаки. Якщо треба, наприклад, дізнатися найбільш Найпоширеніший розмір заробітної плати на підприємстві, ціну на ринку, по якої було продано найбільшу кількість товарів, розмір черевиків, користується найбільшим попитом у споживачів, і т.д., в цих випадках вдаються до моди.
Медіана цікава тим, що показує кількісну межу значення варьирующего ознаки, яку досягла половина членів сукупності. Нехай середня заробітна плата працівників банку склала 650000 крб. на місяць. Ця характеристика може бути доповнена, якщо ми скажемо, що половина працівників отримала заробітну плату 700000 крб. і вище, тобто наведемо медіану. Мода і медіана є типовими характеристиками в тих випадках, коли взяті сукупності однорідні і великий чисельності.
2. Знаходження моди і медіани в дискретному варіаційному ряду
Знайти моду і медіану у варіаційному ряді, де значення ознаки задані певними числами, не становить великих труднощів. Розглянемо таблицю 1. з розподіл сімей за кількістю дітей.
Таблиця 1. Розподіл сімей за кількістю дітей
Група сімей за числом дітей
Число сімей
0
10
1
30
2
75
3
35
4
20
5
15
Разом
185
Очевидно, в цьому прикладі модою буде сім'я, яка має двох дітей, тому що цьому значенню варіанти відповідає найбільше число сімей. Можуть бути розподілу, де всі варіанти зустрічаються однаково часто, в цьому випадку моди немає або, інакше, можна сказати, що всі варіанти однаково модальності. В інших випадках не одна, а два варіанти можуть бути найбільшою частоти. Тоді буде дві моди, розподіл буде бімодальних. Бімодальне розподілу можуть вказувати на якісну неоднорідність сукупності по досліджуваному ознакою.
Щоб знайти медіану в дискретному варіаційному ряд, потрібно суму частот поділити навпіл і до отриманому результату додати ВЅ. Так, в розподілі 185 сім'ї по числу дітей медіаною буде: 185/2 + ВЅ = 93, тобто Дев'яносто третього варіанта, яка ділить впорядкований ряд навпіл. Яке ж значення дев'яносто третьому варіанти? Для того щоб це з'ясувати, потрібно накопичувати частоти, починаючи, від найменшої варіанти. Сума частот 1-й і 2-й варіант дорівнює 40. Ясно, що тут 93 варіанти немає. Якщо додати до 40 частоту 3-й варіанти, то отримаємо суму, рівну 40 + 75 = 115. Отже, дев'яносто третьому варіанту відповідає третьому значенням варьирующего ознаки, і медіаною буде сім'я, яка має двох дітей.
Мода і медіана в даному прикладі співпали. Якби у нас була парна сума частот (Наприклад, 184), то, застосовуючи зазначену вище формулу, отримаємо номер медіанної варіанти, 184/2 + ВЅ = 92,5. Оскільки варіанти з дробовим номером не існує, отриманий результат вказує, що медіана знаходиться посередині між 92 і 93 варіантами.
3. Розрахунок моди і медіани в інтервальному варіаційному ряду
Описовий характер моди і медіани пов'язаний з тим, що в них не погашаються індивідуальні відхилення. Вони завжди відповідають певній варіанті. Тому мода і медіа не вимагають для свого знаходження розрахунків, якщо відомі всі значення ознаки. Однак в інтервальному варіаційному ряду для знаходження наближеного значення моди і медіани в межах певного інтервалу вдаються до розрахунків.
Для розрахунку певного значення модальної величини ознаки, укладеного в інтервалі, застосовують формулу:
М про = Х Мо + i Мо * (f Мо - f Мо-1 )/((f Мо - f Мо-1 ) + (f Мо - f Мо +1 )),
Де Х Мо - Мінімальна межа модального інтервалу;
i Мо - величина модального інтервалу;
f Мо - частота модального інтервалу;
f Мо-1 - частота інтервалу, попереднього модальному;
f Мо +1 - частота інтервалу, наступного за модальним.
Покажемо розрахуно...
