Міністерство освіти РФ
Всеросійський заочний фінансово-економічний інститут
Факультет обліково-статистичний
КОНТРОЛЬНА РОБОТА
по дисципліни В«Економіко-математичні методи і прикладні моделіВ»
Варіант № 5
Виконавець:
Спеціальність: БУАіА
Група:
№ залікової книжки:
Викладач: Орлова І.В.
Москва 2007
Задача 1
Вирішити графічним методом типову задачу оптимізації
Продукція двох видів (фарба для внутрішніх (I) і зовнішніх (E) робіт) надходить в оптовий продаж. Для виробництва фарб використовується два вихідних продукту - А і В. Максимально можливі добові запаси цих продуктів складають 6 8 тонн відповідно. Витрати продуктів А і В на 1 т відповідних фарб приведені у таблиці.
Вихідний продукт
Витрата вихідних продуктів на тонну фарби, т
Максимально можливий запас, т
Фарба Е
Фарба I ​​
А
1
2
6
В
2
1
8
Вивчення ринку збуту показало, що добовий попит на фарбу I ніколи не перевищує попиту на фарбу Е більш ніж на 1т. Крім того, встановлено, що попит на фарбу I не перевищує 2 т на добу. Оптові ціни однієї тонни фарб рівні 3000 ден.ед. для фарби Е та 2000 ден.ед. для фарби I. Яка кількість фарби кожного виду повинна виробляти фабрика, щоб дохід від реалізації продукції був максимальним?
Побудувати економіко-математичну модель задачі, дати необхідні коментарі до її елементів і отримати рішення графічним методом. Що відбудеться, якщо вирішувати задачу на мінімум, і чому?
Рішення
Введемо наступні змінні:
Х 1 - кількість фарби Е (т);
Х 2 - кількість фарби I (Т).
Ціна фарби Е складає 3000 (ден. од.), а ціна фарби I -2000 (ден. од.). Необхідно максимізувати цільову функцію:
Введено наступні обмеження:
Х 1 +2 Х 2 ≤ 6;
2Х 1 + Х 2 ≤ 8;
Х 2 ≤ 2;
Х 2 -Х 1 ≤ 1.
Перше обмеження по продукту А Х 1 +2 Х 2 ≤ 6. Пряма Х 1 +2 Х 2 = 6 проходить через точки (0; 3) і (6; 0).
Друге обмеження по продукту В 2Х 1 + Х 2 ≤ 8. Пряма 2Х 1 + Х 2 = 8 проходить через точки (0; 8) і (4; 0).
Третє обмеження Х 2 ≤ 2. Пряма Х 2 = 2 проходить паралельно осі Х 1 через точку Х 2 = 2.
Четверте обмеження Х 2 -Х 1 ≤ 1. Пряма Х 2 -Х 1 = 1 проходить через точки (0; 1) і (-1; 0).
Рішенням кожного нерівності системи обмежень ЗЛП є полуплоскость, що містить граничну пряму і розташована по одну сторону від неї. Перетин півплощини, кожна з яких визначається відповідним нерівністю системи, називається областю допустимих рішень.
Рішенням нерівностей буде полуплоскость, лежить нижче пересічних прямих Х 1 +2 Х 2 = 6, 2Х 1 + Х 2 = 8, Х 2 = 2, Х 2 -Х 1 = 1.
При максимізації функції лінія рівня переміщається у напрямку вектору - градієнту.
Після рішення системи рівнянь
Х 1 +2 Х 2 = 6
2Х 1 + Х 2 = 8
Знаходимо, що Х 1 = 3,33, Х 2 = 1,33
(ден. од.)
Відповідь:
Прибуток фірми буде максимальною, тобто 12650 ден. од., якщо щодня буде проводитися 3,33 т фарби Е та 1,33 т фарби I.
При вирішенні задачі на мінімум - рішень не буде.
Задача 2
Використовувати апарат теорії подвійності для економіко-математичного аналізу оптимального плану задачі лінійного програмування
На підставі інформації, наведеної у таблиці, вирішується завдання оптимального використання ресурсів на максимум виручки від реалізації готової продукції.
Вид ресурсів
Норми витрати ресурсів на од. продукції
Запаси ресурсів
I вид
II вид
III вид
Праця
1
4
3
200
Сировина
1
1
2
80
Обладнання
1
1
2
140
Ціна виробу
40
60
80
Потрібно:
1. Сформулювати пряму оптимізаційну задачу на максимум виручки від реалізації готової продукції, отримати оптимальний план випуску продукції.
2. Сформулювати двоїсту задачу і знайти її оптимальний план за допомогою теорем подвійності.
3. Пояснити нульові значення змінних в оптимальному плані.
4. На основі властивостей двоїстих оцінок і теорем подвійності:
В· проаналізувати використання ресурсів в оптимальному плані вихідної задачі;
В· визначити, як змінюється виручка від реалізації продукції та план її випуску при збільшенні запасів сировини на 18 одиниць;
В· оцінити доцільність включення в план виробу четвертого виду ціною 70 одиниць, на виготовлення якого витрачається по дві одиниці кожного виду ресурсів.
Рішення
1) Сформулювати пряму оптимізаційну задачу на максимум виручки від реалізації готової продукції, отримати оптимальний план випуску продукції.
Х 1 - норма витрати ресурсу першого виду
Х 2 - норма витрати ресурсу другого виду
Х 3 - норма витрати ресурсу третього виду.
Цільова функція має вигляд
, де
Обмеження:
1) по труду
2) по сировині
3) по устаткуванню
Оптимальний план знайдемо через Пошук рішень в надбудовах Excel (рис. 2.1) і (рис. 2.2).
Рис. 2.1
Рис. 2.2
Отримане рішення означає, що максимальну виручку від реалізації готової продукції (4000 од.) підприємство може отримати при випуску 40 одиниць виробу 1 виду і 40 одиниць вироби 2 види. При цьому ресурс В«працяВ» і В«сировинуВ» будуть використані повністю, з 140 одиниць обладнання буде використано лише 80 одиниць.
Excel дозволяє представити результати пошуку рішення у формі звіту рис. 2.3
Microsoft Excel 10.0 Звіт за результатами
Робочий лист: [Контр.раб 2.5.xls] кр 2.5
