Фінансові ренти. Коефіцієнти нарощення фінансової ренти
Фінансові операції часто носять тривалий характер і складаються не з разового платежу, а з їх послідовності, тобто з потоку платежів.
Потік платежів, всі члени якого позитивні величини, а часові інтервали постійні, називають фінансовою рентою або ануїтетом [5, с.46].
Основні правила процентних обчислень, розглянуті нами раніше, залишаються незмінними і для сукупності платежів, проте виникає необхідність ввести декілька додаткових понять. У фінансовому аналізі для позначення грошових потоків в найбільш загальному сенсі використовується термін рента.
Приватним випадком ренти є фінансова рента або ануїтет - такий потік платежів, всі члени якого дорівнюють один одному, так само як і інтервали часу між ними.
Часто ануїтетом називають фінансовий актив, що приносить фіксований дохід щорічно в Протягом ряду років [7, с.28].
В буквальному перекладі "ануїтет" має на увазі, що платежі відбуваються з інтервалом в один рік, однак зустрічаються потоки з іншою періодичністю виплат.
Очевидно, що рента - це більш широке поняття, ніж ануїтет, так як існує безліч грошових потоків, члени яких не дорівнюють один одному або розподілені нерівномірно [7, с.28].
Форму ануїтетів мають багато фінансові потоки, наприклад виплата доходів за облігаціями або платежі по кредиту, страхові внески. Можна сказати, що фінанси тяжіють до впорядкування грошових потоків.
Принцип тимчасової цінності грошей унеможливлює пряме підсумовування членів ренти. Для врахування впливу фактора часу до кожного члена ренти застосовуються розглянуті вище правила нарощення і дисконтування тільки складних відсотків, тобто передбачається, що одержувач потоку має можливість реінвестувати одержувані ним суми.
Якщо б розміри рент завжди обмежувалися двома-трьома членами, то необхідність створення спеціальних способів розрахунку грошових потоків, можливо, і не виникла.
-->> Ні в теорії, ні на практиці таких обмежень немає, навпаки, існують великі, дуже великі і навіть нескінченні грошові потоки (вічні ренти), тому були розроблені спеціальні методи, що дозволяють аналізувати ренту не по кожному її члену окремо, а як єдину сукупність - розраховувати її майбутню і наведену величини, а також визначати розміри інших важливих параметрів ренти.
Фінансова рента має наступні параметри:
член ренти - величина кожного окремого платежу;
період ренти - часовий інтервал між двома сусідніми платежами, строк ренти - час, виміряний від початку фінансової ренти до кінця її останнього періоду;
процентна ставка - ставка, використовувана при нарощенні або дисконтуванні платежів, що утворюють ренту, число платежів на рік, число нарахувань відсотків на рік, моменти платежу всередині періоду ренти [3, с.62].
Класифікація рент може бути проведена за різними ознаками.
В залежності від тривалості періоду, ренти поділяють на річні і p-строкові, де p - число виплат у році.
За кількістю нарахувань відсотків розрізняють ренти з нарахуванням один в році, m раз або безперервно. Моменти нарахування відсотків можуть не збігатися з моментами рентних платежів [5, с.47].
За величиною членів розрізняють постійні (з рівними членами) і змінні ренти.
Якщо розміри платежів змінюються за будь - яким математичному закону, то часто з'являється можливість вивести стандартні формули, значно спрощують розрахунки.
За ймовірності виплати членів розрізняють ренти вірні і умовні.
Вірні ренти підлягають безумовній виплаті, наприклад, при погашенні кредиту. Виплата умовної ренти ставиться в залежність від настання деякого випадкового події. Тому число її членів завчасно невідоме. Наприклад, число виплат пенсій залежить від тривалості життя пенсіонера.
За кількістю членів розрізняють ренти з кінцевим числом членів або обмежені і нескінченні або вічні. В якості вічної ренти можна розглядати виплати по облігаційних позиках з необмеженими або не фіксованими термінами.
Залежно від наявності зсуву моменту початку ренти за відношенню до початку дії контракту або якому-небудь іншому моменту ренти підрозділяються на негайні та відкладені або відстрочені. Термін негайних рент починається відразу, а у відкладених запізнюється.
Ренти розрізняють по моменту виплати платежів.
Якщо платежі здійснюються в кінці кожного періоду, то такі ренти називаються звичайними або постнумерандо. Якщо ж виплати здійснюються на початку кожного періоду, то ренти називаються пренумерандо. Іноді передбачаються платежі в середині кожного періоду.
Аналіз потоків платежів в більшості випадків припускає розрахунок нарощеної суми або сучасної величини ренти.
Розглянемо розрахунок сучасної вартості і нарощеної суми постійної звичайної (постнумерандо) p - термінової ренти [4, с.84].
Щороку сума R вноситься рівними частками p раз в році на банківський рахунок протягом n років. Тоді маємо потік з np платежів величиною кожен в моменти .
Приймемо за одиницю виміру часу 1 рік.
Нехай i - річна ефективна процентна ставка нарахування складних відсотків на що надходять платежі.
Згідно з визначенням сучасної вартості потоку платежів, отримуємо
(1)
Обчислюючи суму np членів геометричної прогресії, знаменник якої, отримаємо:
(2)
сучасна вартість постійної звичайної p - термінової ренти при нарахуванні відсотків на члени ренти 1 раз на рік упродовж n років.
Звідси сучасна вартість річної звичайної ренти ( p = 1) при нарахуванні відсотків на члени ренти 1 раз в році:
. (3)
Використовуючи співвідношення еквівалентності для ефективної процентної ставки
і,
отримаємо сучасну вартість звичайної p - термінової ренти при нарахуванні на члени ренти складних відсотків m раз в році по номінальною процентною ставкою i ( m ) і безперервному нарахуванні відсотків при постійній інтенсивності відсотків Оґ в рік:
(4)
. (5)
Формули для нарощеної суми ренти можна отримати безпосередньо за визначенням згідно з формулою (3).
Наприклад, для постійної звичайної p - термінової ренти при нарахуванні відсотків на члени ренти 1 раз на рік упродовж n років отримуємо:
. (6)
нарощена сума ренти можна розрахувати, використовуючи формулу зв'язку сучасної вартості і нарощеної суми потоку платежів.
Наприклад, для річної ренти при нарахуванні відсотків 1 раз на рік:
S = AF ( T) = A (1 + i ) n = (7)
Для інших видів звичайної ренти з (4) і (5), використовуючи множники нарощення і відповідно, отримаємо:
(8)
(9)
Зокрема, при m = p (період нарахування відсотків дорівнює періоду ренти) з (4) і (8) отримуємо
(10)
(11)
Якщо одиницею виміру часу є 1 рік, а R - це виплата за рік (одиницю часу), то множник у формулах сучасної вартості ренти, рівний, називається коефіцієнтом дисконтування ренти.
Множник у формулах нарощеної суми ренти, рівний, називається коефіцієнтом нарощення ренти.
З (1) - (11) можна отримати коефіцієнти нарощення і дисконтування всіх розглянутих видів звичайної ренти.
Згідно (1) і (5), коефіцієнти дисконтування і нарощення звичайної p - термінової ренти з нарахуванням відсотків 1 раз на рік упродовж n років рівні відповідно:
(12)
(13)
і - це відповідно сучасна вартість і нарощена сума постійної звичайної p - термінової ренти з щорічною виплатою 1 д. е. рівними частками p раз в роц...
