Міністерство освіти і науки України
Донецький національний технічний університет
РЕФЕРАТ
з вищої математики
на тему:
В«Похідна та її застосування в економічній теорії В»
Донецьк - 2008
Вступ
Сучасний економіст повинен добре володіти кількісними методами аналізу. До такого висновку неважко прийти практично з самого початку вивчення економічної теорії. При цьому важливі як знання традиційних математичних курсів (математичний аналіз, лінійна алгебра, теорія ймовірностей), так і знання, необхідні безпосередньо в практичній економіці та економічних дослідженнях (математична та економічна статистика, теорія ігор, економетрика та ін.)
Математика є не тільки знаряддям кількісного розрахунку, але також методом точного дослідження. Вона служить засобом гранично чіткою і ясною формулювання економічних понять і проблем.
Ф.Енгельс у свій час помітив, що "лише диференціальне числення дає природознавству можливість змальовувати математично не тільки стану, але і процеси: рух ". Тому метою моєї роботи є з'ясувати, який економічний зміст похідної, які нові можливості для економічних досліджень відкриває диференціальне числення, а також дослідити застосування похідної при рішенні різних видів завдань з економічної теорії.
1. Визначення похідної
Нехай функція y = f (х) визначена в деякій околиці точки х 0 . Для будь-якої точки х з цієї околиці прирощення D x визначається формулою D x = х - х 0 , звідки х = х 0 + D x .
збільшень функції y = f (x) в точці х 0 називається різниця
D у = f (x) - f (x 0 ) = f (x 0 + D x) - f (x 0 ).
Похідною від функції у = f (x) в точці х 0 називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу (), коли прирощення аргументу прямує до нуля (D x в†’ 0 ).
Похідна функції у = f (x) в точці х 0 позначається y '(х 0 ) або f' (х 0 ) . Визначення похідної можна записати у вигляді формули:
'() ==.
Якщо функція в точці х 0 має кінцеву похідну, то вона називається дифференцируемой в точці х 0 . Якщо вона дифференцируема у всіх точках проміжку X , то говорять, вона дифференцируема на всьому цьому проміжку.
Звичайно, може не існувати. У цьому випадку говорять, що функція f (x) не має похідної в точці х 0 . Якщо дорівнює або, то кажуть, що функція f (x) має в точці х 0 нескінченну похідну (рівну або, відповідно).
1.1 Геометричний зміст поняття похідної
Нехай на площині x0y дана безперервна крива y = f (x) (див. рис. 1).
Розглянемо на графіку кривої точки M o (x o ; f (x o )) і M 1 (x o + D x; f (x o + D x)) . Проведемо січну M o M 1 . Нехай - кут нахилу січної M o M 1 щодо осі 0х . Якщо існує межа, то пряма, яка проходить через M o і утворює з віссю 0х кут, називається дотичній до графіку даної кривої в точці M o . Таким чином, під дотичної до кривої y = f (х) в точці M o природно розуміти граничне положення січної M o M 1 , до якого вона прагне, коли D x В® 0 .
Нехай N (x o + D x; f (x o )) - точка, яка доповнює відрізок M o M 1 до прямокутного трикутника M o M 1 N. Так як сторона M o N паралельна осі 0 х, то
Переходячи до межі в лівій і правій частинах цієї рівності при D x в†’ 0, отримаємо
Тому геометричний зміст похідної полягає в тому, що f '(x 0 ) - Це тангенс кута нахилу (кутовий коефіцієнт) дотичній до графіку y = f (х) в точці (x o ; f (x o )).
Знайдемо рівняння дотичної до графіка в точці M o (x o ; f (x o )) у вигляді y = kx + b. Так як M o f (x), то повинно виконуватися рівність f (x 0 ) = kx 0 + b, звідки b = f (x 0 ) - kx 0 . Отже, дотична задається рівнянням
y = kx + f (x 0 ) - kx 0 = f (x 0 ) + k (x - x 0 ).
Оскільки k = f '(x 0 ), то рівняння дотичної має вигляд
y = f (x 0 ) + f '(x 0 ) (x - x 0 ).
Як обчислюють похідну?
1. Записують функцію у вигляді y = f (х).
2. Обчислюють Dy - приріст функції: D у = f (x + D x) - f (x).
3. Складають ставлення
4. Представляють, що Dx прагне до нуля, і переходять до межі = y '(х 0 ) .
5. Обчислюють похідну в точці х 0 : y '(х) = y' (х 0 ).
Операція обчислення похідної називається диференціюванням.
Приклади диференціювання:
1.
D y = a (x + D x) 2 - ax 2 = 2ax D x + a D x 2 ;
= 2ax + D x; = 2ax, Гћ ( ах 2 ) '= 2ax .
2.
;
=;
= 3x 2 , Гћ (x 3 ) '= 3x 2 .
3.
;
= - , Гћ
1.2 Диференціал функції
диференціалом функції f (х) в точці х 0 називається лінійна функція прирощення виду
Диференціал функції y = f (х) позначається dy або df (x 0 ). Головне призначення диференціала полягає в тому, щоб замінити прирощення на лінійну функцію від, зробивши при цьому, по можливості, меншу помилку.
Наявність кінцевої похідної дає можливість представити приріст функції у вигляді
де при . З цього випливає, що помилка в наближеному рівність (рівна) є нескінченно малою більш високого порядку, ніж, коли. Це часто використовують при наближених обчисленнях.
1.3 Застосування похідної до дослідження функцій
Дуже часто при вирішенні економічних задач виникає необхідність прийняти рішення на основі дослідження та аналізу функцій попиту, пропозиції, витрат, прибутку і т.д. При цьому зручно користуватися диференціальним численням.
1. Зростання/спадання функції
Якщо дифференцируемая функція y = f (х), х зростає на інтервалі то f '(x 0 ) для будь-якого х 0
Якщо дифференцируемая функція y = f (х), х убуває на інтервалі то f '(x 0 ) для будь-якого х 0
2. Екстремуми функції
Точка х 0
