Міністерство освітиРФ
Рязанська державнарадіотехнічна академія
Кафедра ОіЕФ
Контрольна робота
В«Визначення моментівінерції тіл методом тріфілярного підвісу В»
Виконав Ампілогов Н.В.
Перевірив Малютін А.Є.
Рязань 2002
Метароботи
Визначити моментінерції тіла відносно осі, що проходить через центр його мас,експериментально перевірити адитивність моменту інерції і теорему Штейнера.
Прилади йприналежності: тріфілярний підвіс, секундомір, штангенциркуль, лінійка набіртел.
Елементитеорії
Моментінерції тіла є мірою його інерції при обертальному русі і залежить нетільки від маси даного тіла, але і від розподілу даної маси щодоосі обертання.
Моментінерції матеріальної тачки (I) щодо деякої осі дорівнює:
I = mr2, деm - маса матеріальної точки; r - відстань від точки до осі обертання.
В силуадитивності моменту інерції можна записати вираз:
,
де Ik -момент інерції k-ої частини обертової системи; N - число частин у обертовоюсистемі.
Для протяжнихтел момент інерції визначається, як сума моментів інерції окремихелементарних об'ємів (dV), на які можна розбити дане тіло і які можнавважати матеріальними точками:
,
де dm = rdV - маса елементарногообсягу; r- Щільність тіла в даній точці. Для однорідних тіл, у яких r - const:
.
Так, моментінерції однорідного круглого пустотілого циліндра або диска масою m звнутрішнім радіусом R2 відносно осі, що збігається сього геометричною віссю,розрахований за допомогою формули (4), дорівнює:
.
Тоді:
для суцільногоциліндра, у якого R1 = 0, R2 = R.
;
для тонкогокільця, у якого R1 = R2 = R
I = mR2.
Згідновизначенню моменту інерції одне і те ж тіло відносно різних осей володієрізними моментами інерції, які можуть бути знайдені по теоремі Штейнера:
8) I = I0 +ma2, де I0-момент інерції тіла відносно осі, що проходить через центр мастіла; I - момент інерції того ж тіла відносно осі, паралельної попередньоїі зміщеної на відстань a від неї; m - маса тіла.
У данійроботі потрібно визначити момент інерції ненавантаженого платформи і платформиз досліджуваними тілами, що дозволяє знайти момент інерції самих тіл і провестиперевірку адитивності моменту інерції, а так само переконатися у справедливостітеореми Штейнера. Для цього в ній використовується метод тріфілярного підвісу.
Післяодноразового виведення даної системи (підвісу або підвісу із вантажем) зположення стійкої рівноваги, поворотом на деякий кут a, система починаєздійснювати довільні коливання, період яких залежить моменту інерціїсистеми, а отже і від її маси. Таким чином повну механічнуенергію даної системи (E) в довільний момент часу t (і нехтуючитертям) можна записати так:
,
де J -момент інерції системи, що складається з платформи і встановленого на нійдосліджуваного твердого тіла; w = da/dt - кутова швидкістьсистеми при повороті її на кут a; M - маса системи(Платформи з вантажем або без оного). У формулі (9) - кінетична енергіяобертального руху системи, - потенціальна енергія системи.При (z - z0) - є невелика висота, на яку піднімається система приобертанні в силу перекосу ниток на яких змонтований тріфілярний підвіс (z0 -висота спочиваючої платформи; z - висота платформи, що здійснює крутильніколивання, в довільний момент часу).
Внаданому після цього самому собі пристрої почнуть відбуватисякрутильні коливання, період яких залежить від моменту інерції підвішеноюсистеми. Момент інерції, а отже, і період коливань будуть змінюватися,якщо платформу навантажувати-якими тілами.
Координатиточки А1 верхнього диска в системі координат, яка вказана на рисунку, дорівнюють: х1 = r;y1 = 0; z1 = 0. Координати ж точки А кріплення нижньої платформи до нитки підвісув момент часу, коли платформа повернулася на малий кут a, рівні, відповідно,
x = R Г— cos (a); у = R Г— sin (a); z = z.
Відстаньміж точками А і А1 дорівнює довжині нитки підвісу (l), і оскільки при коливанняхплатформи довжина ниток не змінюється, то в будь-який момент часу справедливоспіввідношення:
.
З урахуваннямзазначених вище координат точок А і А1 на підставі (11) можна написати длядовільного значення кута а повороту наступне вираз:
.
Якщо a = 0, то
.
Тут x = R;у = 0; z = z0 - координати точки А нижній платформи в момент часу, коли a = 0. Прирівнюючивирази (12) і (13) і розкриваючи дужки, одержуємо:
Так як кут a малий, то для нього можнавикористовувати наступні співвідношення:
sin (a) В»a;
Використовуючи їх,з (14) для малих кутів a отримуємо:
.
Враховуючиспіввідношення (14), отримуємо:
;
або
.
Підставивши в(9) знайдене значення (z0-z), маємо
;
або
.
Диференціюючивираз (21) по часу і враховуючи, що повна енергія системи Е з плином часуне змінюється, отримуємо:
.
З останньоговираження випливає:
.
Позначивши
,
отримаємо
.
Цедиференціальне рівняння гармонічного осцилятора. Рішення рівняння (25)можна записати у вигляді:
,
де a0 - амплітуда коливання; w0 - циклічна частотаколивань.
Період коливаньдорівнює:
.
Вирішившиостаннє рівняння відносно J, отримаємо розрахункову формулу:
.
На підставі(28) по відомим параметрам установки (R, r, z0, М) і виміряним на досвідіперіоду коливань можна визначити момент інерції системи.
Розрахунковачастина
R = 12,4 Г— 10-2 м.; R1 = 54,25 Г— 10-3 м.;
R2 = 49 Г— 10-3 м.; r = 3,2 Г— 10-2 м.;
L = 192 Г— 10-2 м.; mпл = 373 Г— 10-7 кг.;
DRВ»0; DR1В»0;
DR2В»0; DrВ»0;
DLВ»0; DmплВ»0;
mтела = 187 Г— 10-7 кг.; Dmтела В»0;
№ п/п
1) Визначення J платформи
2) Визначення J тіла
3) Перевірка адитивності моменту інерції
4) Перевірка теорема Штейнера
N
t, с
Dt, з
n
t, с
Dt, з
n
t, с
Dt, з
n
t, с
Dt, з
1
15
69
1,99 Г— 10-4
15
59
1,99 Г— 10-4
15
52
1,99 Г— 10-4
15
59
1,99 Г— 10-4
2
66
61
54
60
3
70
59
53
58
ср
Знач.
68,33
59,67
53
|
