МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ
РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ
ВОРОНЕЗЬКИЙДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
УДК 621.372
КулігінВ.А., Кулігіна Г.А., Корнєва М.В.
Фазовашвидкість, групова швидкість
ІШВИДКІСТЬ ПЕРЕНОСУ ЕНЕРГІЇ
(робота депонована у ВІНІТІ)
ВОРОНІЖ 2002
Введення
Рухелектромагнітного поля, створеного системою зарядів або електромагнітноїхвилею, пов'язане з перенесенням електромагнітної енергії та з переміщенням векторанапруженості цього поля. Як відомо, напруженість електричного полячислено дорівнює силі, яка діє на одиничний позитивнийточковий заряд, що спочивають у системі відліку спостерігача. Напруженістьелектричного поля переміщається з фазовою швидкістю. Тому фазову швидкість ми можемо назвати швидкістю переміщення силовий характеристикицього поля.
Швидкістьпереносу енергії характеризує рух енергії електричного або магнітногополів. Необхідність введення цього поняття виникла через широкоговикористання в радіоелектроніці ліній передач енергії та інформації з дисперсійнимивластивостями. Це хвилеводи, що уповільнюють структури, які використовуються велектронних приладах НВЧ, в антенах поверхневих хвиль, прискорювачах і т.д.
Вфізиці використовується поняття груповий швидкості. Групова швидкість цешвидкість переміщення хвильового пакету, тобто пакета, утвореного групою хвиль.Оскільки електромагнітна енергія зосереджена в цьому пакеті, груповашвидкість стала інтерпретуватися як швидкість переносу енергії і почалаграти її роль. Однак застосування поняття групової швидкості домонохроматичному хвилі призводить до парадоксів. Ми почнемо аналіз з викладудокази, в якому вводиться це поняття.
1.Групповаяшвидкість.
Розглянемо один з варіантів традиційногодокази, де з'являється поняття групової швидкості (див. [1] і т.д.). Нехайна вході лінії передачі з дисперсією діє радіосигнал з вузьким CпектрS (iW).(1.1)
де:w про - Несуча частота радіосигналу, w o >> W;
(1.2)
-комплексна амплітуда (обвідна радіоімпульсу).
Припустимо,що лінія без втрат має такий коефіцієнт передачі (1.3)
де: g (w)= W /v p -постійна поширення; v p - фазова швидкістьхвилі;
l - довжина лінії; w = w o + W.
Вцьому випадку сигнал на виході лінії передачі енергії буде дорівнювати:
(1.4)
Рис. 1
Враховуючи,що сигнал вузькосмуговий, розкладемо g (w)в ряд за степенями Wвоколиці несучої частотиw о. Обмежуючись двомапершими членами розкладу, запишемо сигнал на виході лінії передачі енергії.
(1.5)
Яквидно з виразу (1.5), обвідна вузькосмугового сигналу зберігає свою форму,але запізнюється на деякий час. Вона як би переміщається зі швидкістю v g .
(1.6)
Цяшвидкість отримала назву груповий швидкості.
Такимчином, групова швидкість є швидкість переміщення хвильового пакета.Оскільки енергія радіосигналу зосереджена в цьому хвильовому пакеті, груповушвидкість стали ототожнювати зі швидкістю переносу енергії хвилею.
2.Парадокс.
Здається,що викладений вище підхід узгоджується із здоровим глуздом. Однак, в лініях заномальної дисперсією виникають парадокси. Нагадаємо класифікацію якаіснує в даний час.
а)Нормальна (позитивна) дисперсія має місце, якщо фазова і груповашвидкості мають однакове напрямок (твір v p v g > 0).
б)Аномальна (негативна) дисперсія має місце, якщо фазова і груповашвидкості направлені в протилежні сторони (твір v p v g <0). Це означає,що фаза хвилі і хвильовий пакет рухаються в протилежних напрямках.
Припустимо, що на початку лінії передачі заномальної дисперсією розташований генератор монохроматичному хвилі (див. рис.1). Є два варіанти пояснення. Однак, будь-який з двох варіантів не даєзадовільного пояснення парадоксу.
Рис.2.
Варіант 1.Нехай фазова швидкість хвилі направлена ​​від генератора уздовж осі х(Відстається потенціал). Ми вважаємо, що групова швидкість це швидкістьпереносу енергії. Отже, енергія, яку переносить хвиля, рухається догенератору (?!).
Варіант 2. Припустимо, що групова швидкість направлена ​​від генератора уздовж осі х.Тепер фаза хвилі рухається до джерела (?!). Ми маємо справу з випереджаючимпотенціалом і принцип причинності порушується.
Більштого, в лініях передачі з аномальною дисперсією має місце ще однепротиріччя. Вектор Пойнтінга S івектор v g мають протилежні напрямки. Цей важливий факт залишився непоміченимдослідниками.
3.Вектор Пойнтінга.
Щобзрозуміти причини парадоксу, розглянемо електромагнітну хвилю ТИМ типу, якапоширюється в нескінченному діелектрику, що володіє дисперсійнимивластивостями. Для такої хвилі справедлива теорема Пойнтінга. Запишемо її вкомплексній формі:
(3.1)
Цейрезультат не залежить від характеру дисперсії лінії передачі енергії.
Припустимотепер, що в однорідної і ізотропного середовищі поширюються дві хвилі одноготипу з дуже близькими частотами і однаковою поляризацією.
(3.2)
де:.
Використовуючивираз (3.2), запишемо рівняння (3.1) для суми цих хвиль.
(3.3)
де.
Спираючись на принцип суперпозиції, можнастверджувати, що співвідношення (3.1) повинно виконуватися для кожної хвилі вокремо.
(3.4)
Потікенергії (вектор Пойнтінга), який переноситься кожною хвилею, завжди спрямованийвід джерела незалежно від дисперсійних властивостей середовища. Легко бачити, щорешта члени виразу (3.3) є звичайними інтерференційними членами.Оскільки ми розглядаємо хвилі одного типу з дуже близькими частотами,амплітуди електричних і магнітних полів цих хвиль можна вважати пропорційними.
(3.5)
де l - комплексний коефіцієнт пропорційності.
Враховуючи(3.4) і (3.5), перетворимо вираз (3.3) і запишемо його в реальній формі.
(3.6)
Щільністьпотоку і щільність енергії дорівнюють
;
(3.7)
Якщо<0,тоді щільність енергії і щільність потоку негативні і назад. Якщо, тоді хвильовий пакетрухається уздовж осі х, А при v g <0-у зворотному напрямку. Цей факт ілюструє інтерференційну сутністьамплітуди биття, коли в діелектрику поширюється група хвиль в одномунапрямку. З іншого боку, енергія, яку переносить кожна хвиля, незалежить від кількості хвиль і від дисперсійних властивостей середовища (див. вираз(3.4)).
Миназвемо інтерференційну картину на площині, яка перпендикулярна напрямкурозповсюдження хвиль, інтерференційної картиною початок роду.Інтерференційна картина, яка виникає уздовж напрямкирозповсюдження хвиль, може бути названа інтерференційної картиною другого роду. Групова швидкість є швидкість поширення інтерференційноїкартини другого роду. Однак, ця швидкість аж ніяк не є швидкістюпереносу енергії. Швидкість переміщення інтерференційної картини другого родудорівнює (див. вираз (2.5)):
(3.8)
Отже,ми з'ясували фізичний зміст групової швидкості як швидкості переміщенняінтерференційної картини, яка утворена групою хвиль. Питання про швидкістьперенесення енергії хвилею ми розглянемо нижче. Отримані результати мають важливетеоретичне значення для квантових теорій, оптики та інших дисциплін. Однакобговорення цієї проблеми гідно спеціальної статті. Результати також маютьпряме відношення до прикладних дисциплін, наприклад, до теорії НВЧ генераторівтипу О.
4.Проблеми визначення швидкості перенесення енергії.
Мибудемо визначати швидкість перенесення енергії, спираючись на класичну концепціюУмова [2]. Відповідно до цієї концепції рух енергії зі швидкістю v e завждистворює потік енергії...
