Реферат Спектральний аналіз коливань

-->> Спектральний складперіодичних коливань

Математичної моделлюпроцесу, повторюваного в часі, є періодичне коливання з наступним властивістю:

, n = 1, 2, ...,

де Т - Період коливання.

Відомо, що будь-якаперіодична функція, що задовольняє умовам Дирихле (інтервал, на якомуфункція визначена, може бути розбитий на кінцеве число інтервалів, в кожному зяких функція неперервна і монотонна, і в усякій точці розриву функціїіснують переходи від одного кінцевого значення до іншого), може бутипредставлена ​​рядом Фур'є. Якщо ряд Фур'є представлений в тригонометричнійформі, то його запис має наступний вигляд:

, k= 0, 1, 2, ...,

де.

Теє періодичне коливання можна представити як сукупність постійної складовоїі гармонійних коливаньз частотами k w 1 (гармонік), причому сукупність амплітуд гармонік називається спектромамплітуд коливання, а сукупністьпочаткових фаз називаєтьсяспектром фаз коливання.

Дуже часто використовуютькомплексну форму ряду Фур'є. Для переходу до цієї форми скористаємося формулоюЕйлера:

.

Тоді ряд Фур'єзапишеться у вигляді

.

Звідси легковизначаються комплексні амплітуди гармонік:

.

Оскільки періодичнеколивання відомого періоду Тповністю описується сукупністю амплітуд іфаз своїх складових, то завданняспектра такого коливання зводиться до завдання його спектрів амплітуд і фаз.

Приклад графічногозображення спектрів амплітуд і фаз деякого періодичногоколивання наведено на малюнку 1.

Рис. 1. Графічнезображення спектрів амплітуд і фаз коливання

Кожна частотнаскладова зображується на графіку спектра одним вертикальним відрізком -спектральною лінією. Довжина відрізка визначає величину амплітуди або початкової фази, а місце розташування відрізкана осі частот - частоту складової ().

Іноді користуються ітабличним способом завдання спектру (табл. 1).

Таблиця 1

Частота 0

Амплітуда

Початкова фаза -

Приклад. Визначити спектральний склад коливання, що представляє собою періодичнупослідовність прямокутних відеоімпульсів звідомими параметрами.

Рішення.

У радіотехніцівідношення називають шпаруватістюпослідовності. За формулою ряду Фур'є в комплексній формі знаходимо

.

Комплексна амплітуда пропорційна функціївиду, графік якої показаний намалюнку 2.

Рис. 2. Графік функції

Амплітуди гармоніквизначаються як модуль:

і пропорційніфункції виду, графік якоїпоказаний на малюнку 4.

Рис. 4. Графік функції

Графік спектру амплітудпри показаний на малюнку 5.

Рис. 5. Графік спектруамплітуд

Пунктирна лінія,побудована за формулою,називається огинаючої спектру амплітуд, в яку вписуються амплітуди гармонікна своїх частотах. Нулі огинаючоїбудуть на тих частотах, на яких

( n = 1, 2, 3, ...),

звідки. Постійна складовавизначається як.

У межах першогопелюстки огинаючої спектру амплітуд ()комплексна амплітуда позитивна і речовинна, значить (). В області частот величина речовинна інегативна, значить (). Отже, початковіфази гармонік змінюються на 180 В° при переході черезнулі огинаючої. Графік спектру фаз показаний на малюнку 6.

Рис. 6. Графік спектруфаз

Зміна періодупроходження імпульсів Т призводить до згущення(При збільшенні) або розрядженню (при зменшенні) спектральних ліній.

Зміна тривалості імпульсів викликаєзсув нулів огинаючої на осі частот, положення ж спектральних ліній прицьому залишається без зміни. У тому випадку, коли шпаруватість послідовностіімпульсів, послідовністьволодіє багатим спектром, що містить дуже велике число повільно убувають поамплітуді гармонік, і широко використовується в синтезаторах частот.

Спектр амплітуддозволяє наочно судити про співвідношення між амплітудами гармонік і про смузічастот, в межах якої розташовані енергетично значні частотніскладові.

Для періодичногоколивання середня потужність Р ср може бути представлена ​​формулою

.

Крім того, доведено,що середня потужність періодичного коливання дорівнює сумі середніх потужностейскладових гармонік:

.

Це рівність називаютьрівністю Парсеваля. Зіставляючи квадрати амплітуд гармонік, можна судити пророзподілі загальної потужності періодичного коливання по діапазону частот, а,отже, будувати радіотехнічні пристрої, обмежуючи спектрпереданого коливання потрібним числом спектральних складових, тим самимзменшуючи частотний діапазон переданих сигналів. Зазвичай спектр обмежуютьчастотою, на якій сума потужностей постійної складової і увійшли до цьогодіапазон гармонік складає не менше 90% повної середньої потужності коливання.

Аналізперіодичних коливань в електричних ланцюгах

В основу аналізулінійних електричних кіл, які перебувають під впливом періодичнихнегармоніческое коливань, лежить принцип накладення. Його суть стосовно донегармоніческое впливів зводиться до розкладання негармоніческоеперіодичного коливання в одну з форм ряду Фур'є і визначення реакції ланцюгавід кожної гармоніки окремо. Результуюча реакція знаходиться як сумаотриманих приватних реакцій.

Аналіз проведемо наприкладі. Нехай до входу послідовної RC -ланцюга(Рис. 7) підведено вплив у вигляді періодичної послідовності відеоімпульсівз амплітудою А = Е і шпаруватістю.

Рис. 7

Потрібно визначитиреакцію - напруга на елементі ємності.

На вхід ланцюга надходитьперіодичне коливання, розкладання якого в ряд Фур'є дає наступнийрезультат:

З ряду видно, що вскладі розкладання відсутні гармоніки з парними номерами, та...