Теорема Гаусса
Експериментальновстановлені закон Кулона і принцип суперпозиції дозволяють повністю описатиелектростатичне поле заданої системи зарядів у вакуумі. Однак, властивостіелектростатичного поля можна виразити в інший, більш загальній формі, невдаючись до уявленню про кулонівському полі точкового заряду.
Введемо нову фізичнувеличину, що характеризує електричне поле - потік О¦вектора напруженості електричного поля. Нехай в просторі, де створеноелектричне поле, розташована деяка досить мала площадка О”S.Твір модуля вектора наплоща О”S і на косинус кута О± між вектором інормаллю домайданчику називається елементарним потоком вектора напруженостічерез площадку О”S (рис. 1.3.1):
О”О¦= E О”Scos О±= E n О”S,
де E n -модуль нормальної складової поля
Малюнок 1.3.1.
До визначенняелементарного потоку О”О¦
Розглянемо тепердеяку довільну замкнуту поверхню S. Якщо розбити цю поверхню намалі майданчики О”S i , визначити елементарні потоки О”О¦ i поля черезці малі майданчики, а потім їх підсумувати, то в результаті ми отримаємо потікО¦ вектора череззамкнуту поверхню S (рис. 1.3.2):
У разі замкнутоїповерхні завжди вибирається зовнішня нормаль.
Малюнок 1.3.2.
Обчислення потоку Фчерез довільну замкнуту поверхню S
Теорема Гаусса стверджує:
Потік векторанапруженості електростатичного поля черездовільну замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі зарядів,розташованих усередині цієї поверхні, поділеній на електричну постійнуОµ 0 .
Для доказурозглянемо спочатку сферичну поверхню S, в центрі якої знаходитьсяточковий заряд q. Електричне поле в будь-якій точці сфери перпендикулярно до їїповерхні і дорівнює по модулю
де R - радіус сфери.Потік О¦ через сферичну поверхню буде дорівнює добутку E наплоща сфери 4ПЂR 2 . Отже,
Оточимо тепер точковийзаряд довільній замкнутої поверхнею S і розглянемо допоміжну сферурадіусу R 0 (рис. 1.3.3).
Малюнок 1.3.3.
Потік електричногополя точкового заряду через довільну поверхню S, навколишнє заряд
Розглянемо конус змалим тілесним кутом О”О© при вершині. Цей конус виділитьна сфері малу площадку О”S 0 , а на поверхні S - майданчикО”S. Елементарні потоки О”О¦ 0 і О”О¦ через цімайданчики однакові. Дійсно,
О”О¦ 0 = E 0 О”S 0 , О”О¦ = EО”S cos О± = EО”S'.
Тут О”S '= О”Scos О± - майданчик, виділювана конусом з тілесним кутом О”О© наповерхні сфери радіуса n.
Так як аотжеЗвідсивипливає, що повний потік електричного поля точкового заряду черездовільну поверхню, що охоплює заряд, рівний потоку О¦ 0 через поверхню допоміжної сфери:
Аналогічним чиномможна показати, що, якщо замкнута поверхня S не охоплює точковогозаряду q, то потік О¦ = 0. Такий випадок зображений на рис. 1.3.2. Всісилові лінії електричного поля точкового заряду пронизують замкнутуповерхню S наскрізь. Усередині поверхні S зарядів немає, тому в ційобласті силові лінії не обриваються і не зароджуються.
Узагальнення теоремиГаусса на випадок довільного розподілу зарядів випливає з принципусуперпозиції. Поле будь-якого розподілу зарядів можна представити як векторнусуму електричних полів точковихзарядів. Потік О¦ системи зарядів через довільну замкнуту поверхнюS буде складатися з потоків О¦ i електричних полівокремих зарядів. Якщо заряд q i опинився всередині поверхні S, товін дає внесок в потік, рівний якщож цей заряд виявився зовні поверхні, то внесок його електричного поля впотік буде дорівнювати нулю.
Таким чином, теорема Гаусадоведена.
Теорема Гаусса єнаслідком закону Кулона і принципу суперпозиції. Але якщо прийняти твердження,що міститься в цій теоремі, за первісну аксіому, то її наслідкомвиявиться закон Кулона. Тому теорему Гаусса іноді називають альтернативноїформулюванням закону Кулона.
Використовуючи теоремуГаусса, можна в ряді випадків легко обчислити напруженість електричного полянавколо зарядженого тіла, якщо заданий розподіл зарядів володієнебудь симетрією і загальну структуру поля можна заздалегідь вгадати.
Прикладом може служитизадача про обчислення поля тонкостінного полого однорідно зарядженої довгогоциліндра радіуса R. Ця задача має осьову симетрію. З міркувань симетріїелектричне поле повинно бути спрямоване по радіусу. Тому для застосуваннятеореми Гауса доцільно вибрати замкнуту поверхню S у вигляді співвісніциліндра деякого радіуса r і довжини l, закритого з обох торців (рис. 1.3.4).
Малюнок 1.3.4.
Обчислення поляоднорідно зарядженої циліндра. OO '- вісь симетрії
При r ≥ R весьпотік вектора напруженості буде проходити через бічну поверхню циліндра,площа якої дорівнює 2ПЂrl, так як потік через обидва підстави дорівнює нулю.Застосування теореми Гаусса дає:
де П„ - зарядодиниці довжини циліндра. Звідси
Цей результат незалежить від радіуса R зарядженого циліндра, тому він застосовний і до поля довгоюоднорідно зарядженої нитки.
Для визначеннянапруженості поля всередині зарядженого циліндра потрібно побудувати замкненуповерхня для випадку r
Аналогічним чиномможна застосувати теорему Гауса для визначення електричного поля в рядіінших випадків, коли розподіл зарядів володіє якою-небудь симетрією,наприклад, симетрією відносно центру, площини чи осі. У кожному з такихвипадків потрібно вибирати замкнуту гауссову поверхню доцільної форми.Наприклад, у разі центральної симетрії гауссову поверхню зручно вибирати ввигляді сфери з центром в точці симетрії. При осьової симетрії замкнутуповерхню потрібно вибирати у вигляді співвісного циліндра, замкнутого з обох торців(Як в розглянутому вище прикладі). Якщо розподіл зарядів не володієнебудь симетрією і загальну структуру електричного поля вгадати неможливо,застосування теореми Гаусса не може спростити завдання визначення напруженостіполя.
Розглянемо ще одинприклад симетричного розподілу зарядів - визначення поля рівномірнозарядженої площини (рис. 1.3.5).
Малюнок 1.3.5.
Поле рівномірнозарядженої площини. Пѓ - поверхнева щільність заряду. S - замкненагауссова поверхню
У цьому випадку гауссовуповерхню S доцільно вибрати у вигляді циліндра деякої довжини, закритогоз обох торців. Вісь циліндра спрямована перпендикулярно зарядженої площини, айого торці розташовані на однаковій відстані від неї. В силу симетрії полерівномірно зарядженої площини має бути скрізь спрямоване по нормалі.Застосування теореми Гаусса дає:
де Пѓ - поверхневащільність заряду, тобто заряд, що припадає на одиницю площі.
Отримане вираздля електричного поля однорідно зарядженої площини можна застосувати і в разіплоских заряджених майданчиків кінцевого розміру. У цьому випадку відстань відточки, в якій визначається напруженість поля, до зарядженої майданчика повиннобути значно менше розмірів майданчика.
