кафедра інформатики та прикладної математики
Реферат на тему
Поняття коливального явища.
Біфуркація. "Жорсткі" і "м'які" режими
Брест-2009
Зміст
Введення
1. Основні поняття
1.1 Поняття про коливання
2. Місце коливальних процесів в науці і техніці
3. Біфуркація
Література
Введення
Загальні закономірності, якими володіють коливальніпроцеси в системах різної фізичної природи, складають предмет науки,отримала назву теорії коливань. Під коливальним явищем прийняторозуміти або те, що пов'язане з фактом усталеного руху врозглянутій системі, або те, що пов'язане з процесом переходу від одногоусталеного руху до іншого. Усталений рух характеризуєтьсяповторюваністю і певною стійкістю. Перехідні процесихарактеризуються тим сталим рухом, до якого вони наближаються. Безлічперехідних процесів даного усталеного руху утворює його областьтяжіння. Зміна сталих рухів, яка відбувається в результатізміни якого-небудь фізичного параметра даної системи при йогопереході через деяке значення, називається біфуркацією. Якщо при цьому змінасталих рухів відбувається досить швидко, тобто стрибкоподібно, тоговорять про "жорсткому" виникненні нового режиму. В іншому випадкувиникнення нового режиму називають "м'яким". Коливальні явища,виникають в так званих нелінійних системах, називаються нелінійнимиколиваннями. Однак перш ніж визначити, що таке нелінійна система,розглянемо більш загальний клас систем, званих динамічними системами.
1. Основні поняття
1.1 Поняття про коливання
Розглянемо деяку систему, тобто сукупність об'єктів,взаємодіючих між собою і з навколишнім середовищем по деякому закону. Цеможе бути як механічна система матеріальних точок, абсолютно твердих тіл,пружні і взагалі деформуються тіла і т.п., так і електрична, біологічнаі змішана системи. Нехай стан системи в кожен момент часу tописується деяким набором параметрів. Процес зміни параметра, якийхарактеризується багаторазовим почерговим зростанням і убуванням параметра підчасу, називається коливальним процесом або просто коливаннями, авідповідний параметр називається коливної величиною. Неможливовстановити чітку межу, що відокремлює коливальні процеси від неколебательних.Якщо всі або найбільш суттєві параметри системи - коливні величини,то кажуть, що система відчуває коливання. Система, здатна запевних умов здійснювати коливання, називається коливальною системою. Строгокажучи, під це визначення підходить будь-яка система, так як для будь-якої системиможна вибрати такий вплив, при якому вона буде здійснювати коливальнийрух. Тому зазвичай використовують більш вузьке визначення: система називаєтьсяколивальної, якщо вона здатна здійснювати коливання при відсутності зовнішніхвпливів (тільки за рахунок спочатку накопиченої енергії).
2. Місце коливальних процесів в науці і техніці
Більшість спостерігаються в природі і техніці процесівє коливальними. До коливальним процесам відносяться самірізноманітні явища: від ритмів головного мозку і биття серця до коливаньзірок, туманностей та інших космічних об'єктів; від коливань атомів абомолекул у твердому тілі до кліматичних змін на Землі, від вібраційзвучної струни до землетрусів. Всі акустичні явища і явища, пов'язаніз поширенням електромагнітних хвиль, також супроводжуються коливальнимипроцесами.
Дослідження польоту і плавання тварин, створення літаючих іплаваючих апаратів з хитаються робочими органами, вивчення неординарнихвихорів має вже більш ніж сторічну історію. Незважаючи на величезне числопублікацій, ця область залишається маловивченою. Залишаються, як і раніше, слабовивченими механіка політ і плавання тварин, фізика торнадо і вихровийтрубки, динаміка та енергетика спіральних та інших вихрових структур. Сформованеположення в цій області людських знань пов'язано з кількома причинами:
з кризою наукових робіт (теоретичною базою, методамидослідження);
з кризою технічної політики (відсутність стратегії встворенні нової техніки);
з кризою організаційних форм і людських можливостейпри створенні екстра складних в науковому і конструкторському відношенні об'єктів.
Ця сторона справи при проведенні робіт у цій області, звичайноне помічається або ігнорується вченими, конструкторами, бізнесменами,менеджерами та фінансистами. Мені здається, що ігнорування існування самихкриз прирікає роботи в цій області на хронічні невдачі, на тратувеликих часових, людських, фінансових і матеріальних ресурсів даремно. Сучаснийрівень проведення наукових, конструкторських та організаційних робіт в ційобласті є недостатнім для того, щоб довести ці роботи до успіху (сучаснийрівень, - це не більше ніж дилетантський підхід при дослідженні в цій області).Тому підняті тут питання повинні бути прийняті до уваги і спонукатилюдське співтовариство переглянути спільно свої наукові, технічні таорганізаційні підходи до вирішення проблем у цій галузі. Питання стоїть руба: абоми переглянемо всі ці підходи, або сотні вчених з покоління в покоління будутьходити по колу, не знаходячи дійсних наукових пояснень і конструкторськихрішень адекватних специфіці розроблюваних виробів.
3. Біфуркація
Біфуркація - зміна характеру рухудинамічної системи на великому часовому інтервалі при зміні одного абодекількох параметрів. Ті значення параметрів, при яких змінюютьсяякісні або топологічні властивості руху, називаються критичними абобіфуркаційні значеннями. Наприклад, при стисненні стрижня відбуваєтьсявипучіваніе, і один стан рівноваги, втративши стійкість, змінюєтьсяновими стійкими станами рівноваги. Основи теорії біфуркації закладені А.Пуанкаре і А.М. Ляпуновим в поч.20 ст., Потім ця теорія була розвинена А.А. Андроновимі учнями. В якості прикладу розглянемо рішення, яке описує ідеальнийосциллятор Дуффінга: x "+ a * x + b * x * x * x = 0. Для початку побудуємо залежністьположення точок рівноваги від a. Зі зміною а від позитивних донегативних значень єдина точка рівноваги розпадається на три. Намові динаміки: єдиний центр перетвориться в сідлову точку в центрікоординат і два центри на координатній прямій (див. Рисунок1).
Рис.1. Траєкторії осцилятора з нелінійною возвращающейсилою (рівняння Дуффінга) на фазовій площині: а-випадок жорсткої пружини а, b> 0,б-випадок м'якою пружини а> 0, b <0 в-потенціал з двома ямами, a <0, b> 0.
Біфуркація такого типу називається біфуркацією типу вил. Фізичнийсенс цього явища зрозумілий з того, що силу - (а * x + b * x * x * x) можна описати задопомогою потенційної енергії. Коли а стає негативним, потенціал зоднієї ямою замінюється потенціалом з двома ямами. При цьому відбуваєтьсяякісна зміна динаміки системи, і тому а = 0 є критичнимбіфуркаційним значенням.
Рис.2. Біфуркаційних діаграма: біфуркація типу вил,відповідає переходу зі стану з одним стійким положенням рівноваги встан з двома стійкими рівноважними точками.
Інший приклад біфуркації - поява у фізичних системахграничних циклів. У цьому випадку у міру зміни деякого керуючогопараметра пара комплексно-сполучених власних значень s1 = i * w + q, s2 =-i * w + qпереходить з лівої частини площини (q <0, стійка спіраль) в праву частину(Q> 0, нестійка спіраль) і виникає періодичний рух, званеграничним циклом. Такий тип якісної зміни динаміки системи,показаний на рис.3, називається біфуркацією Хопфа.
Рис.3. Біфуркаційних діаграма: біфуркація Андронова-Хопфа,відповідає переходу від стійкої спіралі до коливань на граничному циклі.
На малюнку 4 показано біфуркаційних діаграмалогістичного відображення:
Рис. 4.
Література
1.Бутенін Н.В., Неймарк Ю.І. "Введення в теорію нелінійних коливань",М. Физматлит, 1999р.
2.Кисельов О.М. "Введення в теорію нелінійних коливань", М. Физматлит,1999р.
3.Чулічков А.І. "Математичні моделі нелінійної динаміки", М. Физматлит,1999р.
4.Численні інтернет-сайти.
