Московський державний технічний університет ім. Н.Е.Баумана.
Калузький філія
"Квантова статистика"
ЗМІСТ
Квантовастатистика. 3
Принциптотожності. 3
ПринципПаулі на неї не поширюється. 5
ФормулиРічардсона і Річардсона-Дешман. 11
Література .. 15
Квантова статистика
Квантова статистика досліджує фізичні властивості системоднакових мікрочастинок, наприклад, електронів, фотонів, - частинок і т.д.
Поведінка сукупності частинок одного сорту описуєтьсяхвильовою функцією
(1)
q1, q2 -узагальнені координати.
Квантова статистика систем однакових мікрочастинок допускаєдва класи функцій: симетричні, що зберігають свій знак при перестановці двохчастинок:
антисиметричні, що міняють знак при перестановці:
Ці два класи функцій не можуть переходити один в одного.
Принцип тотожності
Принцип тотожності: частинки одного і того ж сорту неможуть мати ніяких помітних особливостей. Тому взаємна перестановка двоходнакових частинок не змінює фізичного стану системи.
У квантовій теорії доводиться, що хвильова функція завждизалишається симетричною або антисеп-метричній, тобто якою вона була в початковомустані.
Належність часток до того чи іншого класу залежить відвеличини їх власного моменту, інакше - спина.
Частинки, спін яких дорівнює напівцілим числом квантівдії Планка, описується антисиметрична - функціями.Ці частинки називаються частками Фермі, або фермионами, а описує їхстатистика називається статистикою Фермі-Дірака.
Електрони, позитрони, протони, нейтрони, атоми, іони,атомні ядра, що складаються з непарного числа елементарних частинок, мають напівцілимспін. Всі вони описуються статистикою Фермі-Дірака.
Наприклад: статистиці Фермі-Дірака підкоряються
Частинки з цілочисловим спіном, описуються симетричними - функціями.Вони називаються частками Бозе або бозонами. Застосовувана до них статистиканазивається статистикою Бозе-Ейнштейна. Їй підкоряються мікрочастинки, що складаютьсяз парного числа елементарних частинок.
Наприклад:
ядра дейтерію
мають спін, рівний цілому числу постійних Планка. Частинки світла(Фотони) мають спін, рівний нулю.
У квантовій механіці частинки нерозрізнені.
Принцип Паулі випливає з властивостей антисиметрична хвильовихфункцій в даному квантовому стані може знаходитися тільки одна микрочастица.
Класичні частинки підкоряються статистиці Максвелла-Больцмана.
Три статистики.
Дві квантові і одна класична статистика
Максвелла-Больцмана.
ab
ba
b
a
a
b
4 стану, частки помітні, енергія може мати як:дискретний, так і безперервний спектр. Їй відповідає функція розподілуМаксвелла-Вольцмана
Принцип Паулі на неї не поширюється
Статистика Бозе-Ейнштейна:
aa
-
-
aa
a
a
Частинкинероздільні, цілий спін. Принцип Паулі не поширюється. Їй відповідаєфункція розподілу Бозе-Ейнштейна. Енергія дискретна.
СтатистикаФермі-Дірака:
a
a
Частинки невиразні, напівцілим спін, принцип Паулі: в одномуквантовому стані не може бути більше однієї частинки. Кожне квантовестан або заповнено єдиною мікрочастинок, або не заповнено. Енергіядискретна. Їй відповідає функція Фермі-Дірака
Отже властивості твердих тіл визначаються властивістю електронногогазу, тобто статистикою Фермі-Дірака, яка вивчає властивості систем, що складаютьсяз великого числа частинок. Важливе значення має функція розподілу частинок поенергіям n (E). Через dn позначають число частинок водиниці об'єму, енергія яких укладена в нескінченно вузькому інтервалі енергіївід Е до E + dE.
dn = n (E) dE (1)
Функція n (E)дозволяє розрахувати число частинок в одиниці об'єму, енергія яких укладена вкінцевому інтервалі від E1 до E2.
(2)
Якщо через n0 позначити загальне числочастинок в одиниці об'єму безвідносно до значення їх енергій, тобтоконцентрацію частинок, то з (2) випливає наступне умова нормування дляфункції розподілу:
(3)
Різні частинки системи мають різні значення енергії,причому функція n (E)характеризує розподіл часток по енергіях. Знаючи n (E), можна розрахувати середнє значення енергії частинок даноїсистеми:
(4) або (5)
Знаючи функцію розподілу частинок по енергіях, можна знайтисереднє значення будь-якої фізичної величини А (Е), яка залежить від енергії частинки,Наприклад, швидкість частинки
Середнє значення А (Е) в системі частинок з відомою функцієюрозподілу n (E) визначаєтьсяза формулою:
(6)
У класичній статистиці Максвелла-Больцмана, яказастосовна до класичного газу, ця функція розподілу залежить від значеньабсолютної температури газу Т і має вигляд:
(7)
У квантовій статистиці Фермі-Дірака, яка застосовна досистемі квантових частинок, що мають напівцілим спін і підкоряється принципу заборониПаулі (дрібні частинки, як електрони, протони, нейтрони та ін, називаютьсяфермионами), функція розподілу має вигляд добутку двох функцій:
(8)
де (9)
(10)
m - маса частинки
Функція g (E)характеризує число квантових станів в одиниці об'єму в одиничному інтервалідля вільних частинок і носить назву щільності квантових станів. З (9)випливає, що щільність квантових станів для вільних частинок, що підкоряютьсястатистикою Фермі-Дірака, зростає з ростом енергії:
g (E) ~
Функція f (E, T) називається функцією Фермі. Ця функція визначаєтьсяймовірністю того, що квантові стани з енергією Е зайняті частинками призаданій температурі Т. За її змістом її не може бути більше одиниці.
Параметр системи частинок EF, що входить у вираз для функціїФермі, носить назву енергії Фермі (енергію Фермі називають також хімічнимпотенціалом), а відповідне значення за лекалом енергій називається енергієюФермі.
Формально, виходячи з (10), енергію Фермі можна визначитияк енергію таких квантових стані, ймовірність заповнення яких часткамидорівнює 0,5. Дійсно, з (10) випливає, що f (EF, T) = 0,5.
Енергія Фермі квантової системи фермионов залежить від
(11)
концентрації частинок n0 і відтемператури Т, а значення енергії Фермі при абсолютному нулі температури (туті далі абсолютний нуль температури розуміється як межа Т => 0, мається наувазі, що абсолютний нуль недосяжний) можна розглядати за формулою
.
Зазвичай розглядаються системи, у яких. Для таких систем Cогласно (1) можна знехтувати залежністю енергії Фермі відтемператури і вважати
Вид функції Фермі наведено на малюнку.
повністю заповнені частинками, а всі квантові стани зенергією - порожні. Тому енергіюФермі при абсолютному нулі можна визначити як максимальнуенергію частинок даної системи при T = 00K. За рахунокнагріву системи частина частинок мали при T = 00K енергіїменше рівня Фермі набувають енергії трохи вище рівня Фермі. При цьомуобласть частково заповнених квантових станів, тобто область, де,, має пошкалі енергій розмір порядку 2КТ.
Системи, описувані квантової статистикою Фермі-Дірака,називають виродженими системами, на відміну від невироджених систем класичнихчастин...
