Зонна теорія твердих тіл
1. Метали, добрепроводять електричний струм.
Діелектрики (ізолятори)погано проводять струм.
Електропровідністьметалів 10 6 - 10 4 (Ом Г— см) -1
Електропровідністьдіелектриків менше 10 -10 (Ом Г— см) -1
Тверді тілаз проміжною електропровідністю називаються напівпровідниками.
2. Різниця напівпровідників іметалів проявляється в характері залежності електропровідності від температури.
Рис.1
З пониженням температурипровідність металів зростає , і для чистих металів прагне донескінченності при наближенні до абсолютного нуля. У напівпровідників, навпаки,з пониженням температури провідність убуває, а поблизу абсолютного нулянапівпровідник стає ізолятором.
3. Ні класичнаелектронна теорія електропровідності, ні квантова теорія, заснована намоделі вільних ферміанов, не може дати відповіді на питання, чому одні тілає напівпровідниками, а інші провідниками або діелектриками.
4. Для відповіді на питаннянеобхідно методами квантової механіки розглянути питання взаємодіївалентних електронів з атомами кристалічної решітки.
5. Вирішити рівнянняШредінгера з числом змінних порядку 10 23 - це математичназавдання безнадійної труднощі.
Тому сучаснаквантова теорія твердого тіла грунтується на ряді спрощень. Такою теорієює теорія твердого тіла. Назва пов'язана з характерною угрупованняменергетичних рівнів електронів у кристалах в зони рівнів.
В основі зонної теоріїлежать наступні припущення:
1)При вивченніруху валентних електронів позитивні іони кристалічної решітки, зважаючиїх великої маси, розглядаються як нерухомі джерела поля, чинногона електрони.
2)Розташуванняпозитивних іонів в просторі вважається строго періодичним: вонирозміщуються у вузлах ідеальної кристалічної решітки даного кристала.
3)Взаємодіяелектронів один з одним замінюється деяким ефективним силовим полем.
Задача зводиться до розглядуруху електрона в періодичному силовому полі кристала.
Потенційна енергіяелектрона U (r) періодично змінюється.
В§ 2. Найпростіша моделькристалічного тіла
Це модель одномірна Кроніга -Пенні, періодичне електричне поле позитивних іонів кристалаапроксимується потенціалом типу В«зубчастої стінкиВ».
Рис.2
На малюнку зображеночергування потенційних ям і бар'єрів.
Рішення рівняння Шредінгера дляпотенційної ями:
(1)
Рішення дляпотенційного бар'єру:
(2)
де;
,.
X n - координатавідлічується від початку n го ділянки. Записують для кожної ями і бар'єра, потім В«зшиваютьВ» рішення іотримують основне рівняння для визначення енергетичних рівнів вперіодичному полі кристала.
(3)
де-площа зубця.
Рис.3
Графічне зображеннярішення рівняння Шредінгера по Кроніга - Пенні.
Cos k'a можезмінюватися в межах від -1 до +1.
Провели паралельні прямі осіабсцис і знаходимо точки перетину цих прямих з графіком, опускаємоперпендикуляри і знаходимо корені рівняння (3). Ці ділянки позначені жирнимилініями. Таким чином допустимі значення Е (к) мають дискретний характер(Зонний). Якщо вісь (Ка) перевернути у вертикальне положення, то отримаємокартину розташування енергетичних зон, дозволених і заборонених.
Рис.4
На рис.4 енергетичнийспектр електронів в кристалі має зонну структуру.
L - довжина кільця ланцюжка.
Значення хвильовихвекторів. О± - постійнарешітки.
Зону, произошедшую відвалентних рівнів атомів, що утворюють кристал, називають валентною зоною.
Зони, що відбулися відвнутрішніх рівнів, завжди повністю заповнені електронами.
Частково заповненої абонезаповненою може бути зовнішній валентний рівень (зона провідності).
Рис.5 Рис.6
Найбільш слабко пов'язані 3S-електрони. При утворенні твердоготіла з окремих атомів відбувається перекриття хвильових функцій цихелектронів.
Просторова протяжність електронних хвильовихфункцій залежить від квантових чисел. Для великих квантових чисел електронніхвильові функції простягаються на великі відстані від ядра, для цих рівніввзаємний вплив атомів буде проявлятися при великих відстанях міжатомами. Що добре видно на рис.7, на прикладі рівнів атомів натрію. Нарівнях 1S, 2S, 2Pпрактично не позначається вплив сусідніх атомів, тоді як для рівнів 3S, 3P і більш високих рівнів цей вплив суттєво і ці рівніперетворюються в енергетичні зони. Для 3S - електронів мається енергетичний мінімум, який бистійку твердотільну конфігурацію атомів натрію при середній межатомнойвідстані R ~ 3А. В атомі натрію на енергії 3S - електрона позначається впливсусідніх атомів, означає також помітне перекриття хвильових функцій цихелектронів. Тому вже можна говорити про те, що конкретний 3S - електрон пов'язаний з якимоськонкретним атомом. Коли присутність інших атомів змінює потенційну ямуокремого атома (рис.5, рис.6), результуючий кулонівський потенціал уже небуде утримувати 3S - електрониблизько конкретних атомів, так що вони можуть знаходитися в твердому тілі де завгоднов результаті перекриття хвильових функцій 3S - електронів. Але 3S - електрони не можуть вільно залишати тверде тіло, так як їх хвильовіфункції не В«виходятьВ» за межі речовини. Енергія зв'язку електронів в твердомутілі дорівнює роботі виходу П†.
Тверде тіло з чотирьох атомівбуде мати лише чотири рівня, розподілені по деякому енергетичномуінтервалу.
Рис.8
Наприклад: в основному стані атомаводню електрон може знаходитися в одному з двох станів - зі спіном вгоруабо вниз. В системі чотирьох протонів є вісім можливих станів. Алеякщо додати ще три електрони, щоб отримати чотири атома водню, тозайнятими опиняться чотири стани і на кожен електрон буде припадати подва стани. Ефект зближення атомів проявляється в зміні енергіїокремих станів
де - енергія ізольованоїатома, - зміни енергії, пов'язані з впливомвідповідних протонів 2, 3, 4. R - відстань між атомами.
Ефект зближення атомів проявляється взбільшенні загального числа рівнів. У реальному тілі міститься близько 10 23 окремих рівнів, які безперервно розподіляються всередині деякогоінтервалу, утворюючи зону дозволених значень енергії (рис.9). Така ж ситуаціяв основному має місце для валентних електронів будь-якого атома.
Рис.9
У твердому натрії зона 3S - електронів є зовнішньою,наполовину заповненою. Верхня межа заповнених рівнів припадає насередину зони. Електрон може перейти на більш високий вільний рівень в ційзоні за рахунок теплового або електричного збудження. Отже, твердийнатрій володіє хорошою електропровідністю і теплопровідністю. На рис.10зонна структура провідників (натрію). Верхня зона - частково заповненазона. Нижні зони - заповнені електронами.
Якщо число енергетичних рівнів взоні більше числа електронів в ній, то електрони легко збуджуються,забезпечуючи тим самим провідність, якщо ж всі рівні в зоні заповнені, топровідність неможлива або утруднена.
Наприклад:в кремнії, германії, вуглеці (алмаз) на P - оболонці є два електрони івиникає змішана конфігурація S і P - орбіталей (орбіталь - хвильова функція,описує дане квантовий стан), яка робить особливо сприятливоюконфігурацію з чот...