Академія ФСО Росії
Кафедра Фізики
Тема:
В«Закони Кірхгофа та їх застосування для розрахунку електричнихланцюгів В»
Орел-2009
Зміст
Перший закон Кирхгофа
Другий закон Кірхгофа
Розрахунок складних кіл за допомогоюрівнянь Кірхгофа
Перший закон Кирхгофа
Алгебраїчна сумаструмів в гілках, що сходяться до будь-якого вузла електричного кола, тотожно дорівнюєнулю. Згідно з цим законом, якщо до деякого вузлу ланцюга приєднаний n гілок з струмами i 1 , i 2 , ... , i n , то в будь-який момент часу
,
де, якщо напрямок струмупозитивно і орієнтоване від вузла (струм виходить з вузла), або, якщо струм входить у вузол.Таким чином, будь-якого вузла ланцюга відповідає рівняння, що зв'язує струми вгілках ланцюга, з'єднаних з даним вузлом.
В якості прикладунаведемо схему на малюнку 1.
Рис.1.
У відповідності з першимзаконом Кірхгофа:
.
Загальне число рівнянь,яке можна скласти за першим законом Кірхгофа для ланцюга, дорівнює числу вузлівланцюга.
Так, для чотирьох вузлівграфа (малюнок 2) можна скласти наступні чотири рівняння:
Рис.2.
вузол 1: ,
вузол 2: ,
вузол 3: ,
вузол 4: .
Перший закон Кирхгофачасто називають законом Кірхгофа для струмів і скорочено у тексті позначають ЗКТ.
Число незалежнихрівнянь дорівнює трьом, так як будь-яке з цих рівнянь відрізняється від суми трьохрешти тільки знаком. Отже, якщо ланцюг містить вузлів,то для неї можна скласти за першим законом Кірхгофа незалежних рівнянь.Сукупність з N вузлів ланцюга, рівняння для яких утворюють системулінійно незалежних рівнянь, називають сукупністю незалежних вузлівланцюга .
Приклади на застосування першого закону Кірхгофа.Паралельне з'єднання елементів
В якості прикладу назастосування першого закону Кирхгофа розглянемо паралельне з'єднаннядекількох елементів активних опорів, конденсаторів, котушокіндуктивності.
Особливістюпаралельного з'єднання декількох елементів є рівність напруг,прикладених до затискачів будь-якого з елементів, що входять у з'єднання. Ланцюг притакому з'єднанні характеризується тільки одним незалежним вузлом.
Нехай паралельноз'єднані n елементів активного опору.Якщо вибрати напрямки звітів струмів в елементах такими як це показано на малюнку3, то згідно з першим законом Кірхгофа при паралельному з'єднанні елементівзапишемо:
u
Рис.3.
враховуючи, що, маємо,
де.
Залежність не відрізняється відзалежності між напругою на затискачах і струмом в елементі активного опоруз провідністю G . Отже, ланцюг, складена з декількохопорі, включених паралельно, може бути замінена одним активнимопором, при цьому провідність еквівалентного елемента дорівнює суміпровідностей елементів, що входять у з'єднання.
При паралельномуз'єднанні конденсаторів (малюнок 4) струм гілки можна визначити за формулою:.
Рис.4.
Для обчислення загальногоструму необхідно підсумувати струми гілок:
,
де . .
Таким чином, припаралельному з'єднанні декількох конденсаторів еквівалентна ємність дорівнюєсумі ємностей, що входять у з'єднання.
У разі паралельногоз'єднання котушок індуктивностей (малюнок 5)
ток кожної з гілок дорівнює:.
Рис.5.
Рівняння для обчисленнязагального струму має вигляд:
.
Отже, то є.
Це означає, щозначення еквівалентної індуктивності будить менше найменшого із значеньз'єднаних паралельно індуктивностей.
Другий закон Кірхгофа
Другий закон Кірхгофаформулюється наступним чином: алгебраїчна сума напруг гілок в будь-якомуконтурі ланцюга тотожно дорівнює нулю. Для замкнутого контуру, зображеного намалюнку 6, можна записати співвідношення:
.
Рис.6.
У відповідності з другимзаконом Кірхгофа при обході контура за годинниковою стрілкою справедливе співвідношення:
.
Зміна напрямкуобходу еквівалентно зміні знаків напружень на протилежні (множеннюна мінус одиницю).
Приклади назастосування другого закону Кірхгофа
Послідовне з'єднання елементів
Нехай n елементівактивного опору з'єднані послідовно (малюнок 7).
Рис.7.
Відповідно дообраним напрямом обходу за другим законом Кірхгофа отримаємо рівняння:
.
характерною особливістюпослідовного з'єднання є рівність струмів в кожному з елементів,входять у з'єднання.
При запишемо:
, тобто.
Таким чином, припослідовному з'єднанні декількох резисторів еквівалентний опірдорівнює сумі опорів, що входять у з'єднання.
При послідовномуз'єднанні котушок індуктивності (малюнок 8) можна записати:
.
Рис.8.
Якщо, то,
отже.
Це означає, щоеквівалентна індуктивність дорівнює сумі індуктивностей, що входять до послідовнез'єднання.
У випадкупослідовного з'єднання конденсаторів (малюнок 9) за другим закономКірхгофа можна записати:
.
Рис.9.
Замінюючи отримаємо:.
Зворотній ємність всіхконденсаторів, з'єднаних послідовно, дорівнює сумі зворотних ємностейконденсаторів, входять у з'єднання:
.
При цьому еквівалентнаємність з'єднання буде менше найменшою ємності конденсатора, що входить допослідовне з'єднання.
Розрахунок складних кіл за допомогоюрівнянь Кірхгофа
Приклад 1
Далеко не у всіх випадкахланцюг являє собою сукупність лише послідовно і паралельноз'єднаних гілок. В якості прикладу розглянемо варіант розрахунку за допомогоюрівнянь Кірхгофа електричного кола (малюнок 10). Ланцюг містить = 4 вузлів і = 6 гілок, включаючиджерела напруги.
Рис.10.
Для визначення всіхструмів і напруг в схемі достатньо знайти значення струмів у всіх гілках ланцюга.Знаючи струм, що проходить через будь-яку з гілок ланцюга, можна знайти як напругацієї гілки, так і напругу між будь-якою парою вузлів ланцюга.
Якщо ми задамосядовільно позитивними напрямками струмів в гілках ланцюга і пронумеруємодовільно ці струми, то по першому закону Кірхгофа можна скласти рівнянь відноснострумів в гілках ланцюга.
За другим закономКірхгофа буде лінійно-незалежнихрівнянь для напружень гілоксхеми.
Сукупність з рівнянь за першимзакону Кірхгофа, і рівнянь,складених за другим законом Кірхгофа, утворює систему лінійно - незалежнихрівнянь. Ця система буде неоднорідною системою рівнянь, так як їївільними членами є задані напруги джерел.
