Міністерство освіти Російської Федерації
Санкт-Петербурзький державний гірничий інститут
імені Г.В. Плеханова
(технічний університет)
Кафедра механіки
розрахунково-графічної роботи
З дисципліни
Опори матеріалів
Тема
Побудова епюр поперечних сил, згинальних моментів і
вибір перетинів балок
Автор: студент гр. ІЗ-01
Кочетова Т.А
ПЕРЕВІРИТИ
Викладач доцент
Зарецький-Феоктистов Г. Г
Санкт-Петербург 2002р.
Задача 1
Побудувати епюри Q і M для консольної балки при P 1 = 20кН; М 1 = 25кН В· м; q 1 = 10кН/ м (рис.1) і підібрати діаметр балки круглого поперечного перерізу з дерева;
Рішення
Побудова епюр Q і М для консольних балок можна справити, не обчислюючи реакцій.
Якщо розсікти балку в якому перетині і розглядати частину балки між перетином і вільним кінцем, то у виразах для Q і М увійдуть тільки прикладені до балки відомі навантаження.
Балка має три вантажних ділянки з довжинами 3,2, 4. Початок координат розташуємо в центрі ваги крайнього лівого перетину, вісь Y направимо вертикально вгору, вісь X - вправо. Розсікти балку в межах кожного вантажного ділянки перерізами, розташованими на відстанях x 1 , x 2 , х 3 від початку координат.
Перша ділянка характеризується зміною абсциси x в межах 0 ≤ x ≤ 3.
Поперечна сила на першому ділянці постійна: Q 1 = Р = 20кН.
Згинальний момент на першій ділянці;
M 1 =-60кНм при х 1 = 0; M 1 = 0 при х 1 = 3м.
На другій ділянці абсциса х змінюється в межах 3 ≤ х 2 ≤ 5.
Тут поперечна сила Q 2 = 0; згинальний момент М 2 = М = 25кНм.
На третьому ділянці абсциса х змінюється в межах 5 ≤ х 3 ≤ 9.
Тут поперечна сила
Q 3 =-q (х 3 -5); Q 3 = 0 при х 3 = 5м; Q 3 =-40кН при х 3 = 9м
Згинальний момент на третьому ділянці
при х 3 = 5м М 3 = 25кНм; при х 3 = 9м М 3 =-55кНм.
Абсолютна величина максимального згинального моменту дорівнює 60кНм (див. рис. 1). Тоді момент опору
Момент опору круглого поперечного перерізу відносно центральної осі
тоді необхідний діаметр балки
консольний балка поперечний вісь
Малюнок 1
Задача 2
Побудувати епюри Q і М для балки з дерева при q 2 = 5кН/м; P 2 = 10кН; M 2 = 35кНм (рис.2) і підібрати розміри балки прямокутного поперечного перерізу з відношенням висоти до ширини h/b = 3;
Рішення
Для визначення Q і М в будь-якому перерізі балки необхідно знати всі зовнішні сили, що діють на балку, тобто прикладені навантаження і опорні реакції R A і R B .
Розташуємо початок координат в центрі ваги крайнього лівого перетину, в точці А, вісь Y направимо вертикально вгору, а вісь Х - Горизонтально вправо (по осі балки).
На шарнірно-нерухомою опорі А невідому за величиною і напрямком реакцію замінимо двома складовими: R A - вертикальної, перпендикулярній осі балки, і Х А - горизонтальній, спрямованої по осі Х. На шарнірно-рухомої опори В реакція R B направлена ​​перпендикулярно осі балки.
Складаємо наступну систему рівнянь статики:
Вирішивши її при заданих вихідних даних, отримаємо
Для перевірки складемо ще одне рівняння статики, суму проекцій всіх сил на вісь Y
Отже, реакції визначені вірно.
Для побудови епюр Q і М необхідно визначити поперечні сили і згинальні моменти. Дана балка має два вантажних ділянки, межами яких є опорні перерізи і перетин, де прикладена зосереджена сила Р. Щоб скласти рівняння Q і М, для кожної ділянки проводимо довільні перетину на відстані х від початку координат.
В якості першого ділянки розглянемо ту частину балки, на яку діє розосереджена сила q. На ньому абсциса х змінюється в межах 0 ≤ х 1 ≤ 4.
Тут Q 1 = R A -qx 1 ; Q 1 = 55/9кН при х < sub> 1 = 0; Q 1 = -125/9кН при х 1 = 4м.
Рівняння моментів має вид
при х 1 = 0 М 1 = 0;
при х 1 = 4м М 1 = -140/9кНм.
Для уточнення виду епюри М на першій ділянці необхідно визначити екстремальне значення М в перетині, де Q = 0. Абсциса цього перерізу може бути обчислена з рівняння
Q 1 = R A -qx = 0.
Таким чином
м.
Підставивши це значення в вираз М 1 = R A x-qx 2 /2, знайдемо М max = 605/162 = 3 , 7кНм.
На другій ділянці абсциса х змінюється в межах 4 ≤ х 2 ≤ 9. На цій ділянці Q 2 = const і Q 2 = R A + P-4q = 55/9 +10-20 = -35/9. Рівняння моментів на цій ділянці має вид
при х 2 = 4м М 2 = 55/9 В· 4 +4 В· 5.2 = -140/9кНм;
при х 2 = 9м М 2 = 55/9 В· 9 +10 В· 5-4 В· 5.7 =-35кНм.
Абсолютна величина максимального згинального моменту
М max = 35кНм.
Величина моменту опору
.
Момент опору прямокутника відносно нейтральної осі
, звідки;
Малюнок 2.
Задача 3
Побудувати епюри Q і М для балки із сталі при q 2 = 5кН/м; P 2 = 10кН; M 2 = 35кНм (рис.3) і підібрати номер двутавра;
Рішення
Визначаємо опорні реакції. Так як прикладені навантаження вертикальні, реакція Х А = 0.
Для обчислення реакції R А складаємо суму моментів всіх сил щодо точки В
Вирішуючи це рівняння щодо R A і підставляючи значення входять до нього величин, отримаємо
Негативний знак реакції R A показує, що вибране напрямок невірно і його слід змінити на протилежне.
Для обчислення реакції R B складаємо суму моментів всіх сил щодо окуляри А
Підставляючи в це рівняння вихідні дані, і вирішуючи його щодо R B , отримаємо
.
Для перевірки правильності обчислення реакцій складемо суму проекцій всіх сил на вертикальну вісь Y:
Таким чином, реакції визначені правильно.
Для визначення поперечних сил і згинальних моментів виділяємо чотири вантажних ділянки та нумеруючи їх зліва направо. Для складання рівнянь Q і М необхідно в межах кожної ділянки провести довільне перетин і розглядати частину балки по одну сторону від перерізу. При цьому для першого і другого ділянок простіше розглядати частину балки зліва від розтину, для третього і четвертого - праворуч від перерізу. У відповідності з цим абсцису для першого і другого ділянок будемо відраховувати від точки А, для третього і четвертого - від точки С.
-45
Малюнок 3.
З малюнка 3 видно, що М max = 45кНм.
обчислюють момент опору