ТЕМА
оптимізаційних моделей ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ
ГЛАВА 1. Використання оптимізаційних моделей при прийнятті рішень
Успішність вирішення переважної більшості економічних задач залежить від найбільш ефективного способу використання ресурсів (грошей, товарів, сировини, обладнання, робочої сили та ін.) Саме ефективністю використання, як правило, обмежених, ресурсів визначається кінцевий результат діяльності будь-якої економічної системи (фірми, підприємства, галузі).
Економічна суть методів оптимізації полягає в тому, що, виходячи з наявності певних ресурсів, вибирається такий спосіб їх використання (розподілу), при якому забезпечується максимум (або мінімум) цікавлячого ОПР показника.
Завдання знаходження значень параметрів, що забезпечують екстремум функції за наявності обмежень, накладених на аргументи (незалежні змінні), носять загальна назва завдань математичного програмування.
Труднощі, що виникають при вирішенні задач математичного програмування, визначаються, зокрема:
В· видом функціональної залежності критерію ефективності, званого також цільової функцією, від незалежних змінних;
В· розмірністю завдання, тобто кількістю незалежних змінних;
В· видом і кількістю обмежень, яким задовольняють незалежні змінні.
Серед задач математичного програмування найпростішими і найбільш добре вивченими є так звані задачі лінійного програмування (лінійної оптимізації). Для них характерно те, що цільова функція лінійно залежить від, а також те, що обмеження, накладаються на незалежні змінні, мають вигляд лінійних рівностей або нерівностей щодо цих змінних.
Такі задачі часто зустрічаються на практиці - наприклад, при вирішенні проблем, пов'язаних з розподілом ресурсів, плануванням виробництва, організацією роботи транспорту і т.д. У багатьох випадках витрати і доходи лінійно залежать від кількості закуплених або утилізованих засобів (наприклад, сумарна вартість партії товарів лінійно залежить від кількості закуплених одиниць; оплата перевезень здійснюється пропорційно вагам перевезених вантажів і т.п.).
Задачі лінійного програмування, природно, не вичерпують всі можливі типи взаємозв'язків економічних параметрів. Більш складними для аналізу та чисельного рішення є задачі нелінійного програмування (нелінійної оптимізації), що характеризуються нелінійною залежністю цільової функції і (або) функцій-обмежень від незалежних змінних.
Відзначимо ще два типи завдань математичного програмування, що мають широку поширеність в практиці прийняття управлінських рішень.
Динамічне програмування служить для вибору найкращого плану виконання багатоетапних дій. У загальному вигляді постановка задачі динамічного програмування зводиться до наступного. Є деяка керована операція (Цілеспрямована дія), що розпадається (природно або штучно) на ряд кроків (етапів). На кожному етапі здійснюється розподіл і перерозподіл ресурсів (управління) з метою поліпшення її результату в цілому. Завдання динамічного програмування - визначити оптимальне управління на кожному кроці і, тим самим, оптимальне управління всією операцією в цілому.
Слід зазначити також завдання стохастичного програмування. Особливість даного класу задач полягає в тому, що шукається оптимальне рішення в умовах неповної визначеності, коли ряд параметрів, що входять в цільову функцію та обмеження, являють собою випадкові величини.
Рішення задач динамічного і стохастичного програмування, а також ряду інших завдань (наприклад, параметричного програмування), виходить за рамки цього курсу лекцій.
Лінійні моделі оптимізації в управлінні
Спочатку розглянемо задачі лінійної оптимізації (або оптимізаційні задачі лінійного програмування), математичні моделі яких містять лише лінійні залежності від змінних.
Як уже зазначалося, оптимізація, включає теорію та методи вирішення задач, в яких критерій оптимальності (цільова функція) лінійно залежить від параметрів задачі, є найбільш розробленим розділом інформаційних технологій оптимальних рішень. Лінійні моделі широко використовуються в теорії і практиці прийняття управлінських рішень.
Сучасні інформаційні технології оптимізації рішень широкого класу практичних задач включають їх формулювання (Побудова математичної моделі), математичні методи і комп'ютерні програми вирішення цих завдань, а також методи економіко-математичного аналізу оптимальних рішень.
Загальна задача лінійної оптимізації полягає в знаходженні максимуму (мінімуму) лінійної цільової функції
, (2.1)
, (2.2)
, (2.3)
. (2.4)
Функція називається цільовою функцією, критерієм оптимальності або лінійною формою.
Вектор значень невідомих, що задовольняють умовою завдання (2.1) - (2.4), називається допустимим рішенням або допустимим планом задачі лінійної оптимізації. Сукупність усіх допустимих планів називається безліччю допустимих планів. Допустиме рішення називається оптимальним, якщо воно забезпечує максимальне (або, залежно від умов задачі, - мінімальне) значення цільової функції.
Рішення задач лінійної оптимізації може бути отримано без особливих ускладнень (природно, при коректній формулюванні проблеми). Класичним методом рішення задач даного типу є симплекс-метод. У випадку лише двох змінних успішно може використовуватися також графічний метод рішення, що володіє перевагою наочності. Очевидно, у випадку застосування графічного методу неможливо.
При вирішенні ряду оптимізаційних завдань потрібно, щоб значення невідомих виражалися в цілих числах. Природно, до завдань подібного типу відносяться ті, в яких потрібно визначити необхідні для прийняття рішень значення фізично цілісних об'єктів (машин, агрегатів різного типу, людей, транспортних одиниць і т.д. і т.п.). Такі завдання відносяться до задач цілочисельний оптимізації. Математична модель задачі лінійної цілочисельний оптимізації також визначається формулами (2.1) - (2.4), але в даному випадку накладається додаткова вимога цілочисельності всіх (або частини) невідомих. Якщо вимога цілочисельності поширюється лише на частину невідомих величин задачі, то таке завдання називається частково цілочисельний.
Процес побудови математичної моделі для вирішення задачі починається, як правило, з відповідей на наступні питання:
В· Для визначення яких величин повинна бути побудована модель, тобто як ідентифікувати змінні завдання?
В· Які обмеження повинні бути накладені на змінні, щоб виконувалися умови, характерні для модельованої системи?
В· У чому полягає мета завдання, для досягнення якої з усіх допустимих значень змінних потрібно вибрати ті, які будуть відповідати оптимальному (найкращому) вирішення завдання?
Після відповіді на дані питання для побудови моделі залишається тільки ідентифікувати змінні і представити мета і обмеження у вигляді математичних функцій цих змінних.
Належний аналіз питань подібного роду і коректна формулювання математичної моделі є центральною ланкою розв'язання задач лінійної (і не тільки лінійної) оптимізації.
Ефективним засобом вирішення завдань лінійної оптимізації є MS Excel. Вхідний до складу даного програмного продукту пакет Пошук рішення (Solver) дозволяє проводити вирішення завдань подібного роду з великим (понад 200) числом змінних і обмежень.
Відзначимо, що стосовно до завдань оптимізації виробничої програми підприємства найбільш типовими завданнями лінійної оптимізації є оптимізація доходу, прибутку, собівартості, номенклатури виробленої продукції, витрат верстатного часу і т.п.
Розглянемо використання інформаційних технологій розв'язання задач лінійної оптимізації на ряді конкретних прикладів, що мають безпосереднє відношення до практики прийняття управлінських рішень.
Приклад 1. Визначення оптимального асортименту про...
