БІЛОРУСЬКИЙ ГОСУДРАСТВЕННИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІНФОРМАТИКИ І РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ
Кафедра інженерної графіки
РЕФЕРАТ
На тему:
В«Стійкість стиснутих стержнів. Міцність при циклічно змінюються навантаженнях (напругах) В»
МІНСЬК, 2008
Стійкість рівноваги стиснутого стержня
У навантажених тілах при будь деформованому стані має місце рівновага між зовнішніми і внутрішніми силами. Деформований стан характеризується формою тіла, формою рівноваги. Під стійкістю розуміють властивість тіла зберігати свою первинну форму рівноваги.
Розглянемо форми рівноваги при стисненні стрижнів. При стисненні короткого жорсткого стержня (рис. 1, а) його розраховують на міцність і жорсткість за формулами для осьового стиснення (Подразд. 5.4). При стисненні стрижня, що має досить велику довжину по порівнянні з поперечними розмірами, можливо наступне. Поки стискаюча сила F мала і вісь стержня (рис. 1, б, г) строго прямолінійна, стрижень знаходиться в стані стійкої рівноваги. При величині стискаючої сили, рівної деякого критичного значення F cr вісь стрижня викривляється (рис. 1, в, д). У цьому випадку початкова (розрахункова) прямолінійна форма рівноваги стає нестійкою. Критичної силою F cr називається найменше значення стискаючої сили, при якому вісь стиснутого стержня втрачає прямолінійність.
За визначенням Ейлера, критичної силою називається стискаюча сила, необхідна для самого малого нахилення колони.
д
г
в
б
а
Рис. 1
Поняття стійкості не потрібно змішувати з поняттям міцності, кожне з них має самостійне значення. Наприклад, стиснене стрижень при дії сили, більшої критичної, зігнеться, але деформації його будуть пружними і він після зняття навантаження відновить свою первинну форму. Втрата стійкості в цьому випадку не пов'язана з втратою міцності; але в інших випадках втрата стійкості, змінюючи форми елемента, може призвести до руйнування або неможливості елемента виконувати свої функції.
При розрахунку на стійкість стиснутих стержнів, перш за все, потрібно вміти визначати величину критичної сили F cr . Критичну силу розглядають як граничне навантаження. Допустиме навантаження повинна бути, природно, менше критичної
F adm = F cr /n S , (1)
де n S - коефіцієнт запасу стійкості, величину якого приймають більшою коефіцієнта запасу міцності п , так як враховують додаткові несприятливі фактори: початкову непрямолінійність осі стрижня, можливий ексцентриситет дії стискаючого навантаження та ін Для сталевих стрижнів приймають n S = 1,8 ... 3; для крихких матеріалів - до 5,5.
Втрата стійкості була причиною багатьох аварій і катастроф; вона можлива при крученні, вигині і складних деформаціях.
Визначення критичної сили, задача Ейлера
Завдання по визначенню критичної сили F cr вперше була вирішена Л. Ейлера в 1744 р. Розглянемо стислий стрижень за умови, що стрижень (мал. 2, а) зігнувся, тобто стискаюча сила дорівнює критичній. Для вивчення вигину використовуємо диференціальне рівняння вигнутої осі стрижня
d 2 y/dx 2 = М і /EI. (2)
а
б
Рис. 2
Вигин відбувається в площині мінімальної жорсткості, тобто поперечні перерізи будуть повертатися навколо тієї осі, щодо якої момент інерції I має мінімальне значення. Згинальний момент по абсолютною величиною в якому перетині дорівнює
М і = F cr О‡ y, (3)
де у - прогин поперечного перерізу. Так як прогин у і друга похідна від нього d 2 y/dx 2 при будь-якому напрямку осі у завжди мають протилежні знаки, рівняння (5.92) виразимо як
d 2 y/dx 2 = (-F cr О‡ y)/(EI). (4)
Позначаючи
k 2 = F cr /(EI), (5)
представимо рівняння (5.94) у вигляді y'' + k 2 y = 0. Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку. Його загальне рішення має вигляд
y = C sin kx + D cos kx. (6)
Для визначення постійних інтегрування З і D використовуємо відомі граничні умови, а саме, умови кріплення на кінцях стержня: при х = 0 і при х = в„“ прогин відсутня, тобто у = 0.
Підставляючи в рівняння (6) дані першої умови, визначимо, що D = 0, а стрижень вигинається по синусоїді у = C sin kx. З другого граничного умови знайдемо З sin k в„“ = 0. Отримане співвідношення справедливо, якщо С = 0 або sin k в„“ = 0. Якщо вважати С = 0, то при D = 0 прогин (5.96) у всіх поперечних перерізах по довжині стрижня при будь-яких значеннях х відсутня, що суперечить вихідній передумові. Вираз sin k в„“ = 0 справедливо, коли k в„“ = nПЂ, де n - довільне ціле число (n = 0, 1, 2, ...). Підставляючи значення k = (ПЂn)/в„“ у вираз (5), отримаємо що
F cr = k 2 EI = (ПЂ 2 n 2 EI)/в„“ 2 . (7)
Щоб стрижень зберігав криволінійну форму, необхідно, щоб сила була відмінна від нуля, тобто n в‰ 0. З практичної точки зору інтерес представляє найменше значення критичної сили, при дії якої відбувається викривлення осі стрижня, втрата стійкості. При n = 1 отримуємо найменше значення критичної сили, рівне
F cr = (ПЂ 2 EI)/в„“ 2 . (8)
Використовуючи особливості пружної лінії, можна поширити отримане рішення на інші випадки закріплення стрижня. Так, якщо стрижень на одному кінці жорстко защемлений, а на іншому - вільний (рис. 2, б), то пружну лінію стрижня легко призвести шляхом дзеркального відображення відносно закладення до пружної лінії шарнірно закріпленого стержня (Рис. 2, а). Очевидно, критична сила стрижня з таким закріпленням довжиною в„“ буде дорівнює критичній силі шарнірно закріпленого стержня довжиною 2 в„“.
Загальна вираз критичної сили для стиснутого стержня в узагальненому вигляді з урахуванням його типу кріплення прийме вигляд
F cr = (ПЂ 2 EI)/(П… в„“) 2 (9)
де П… - коефіцієнт приведення довжини стрижня (коефіцієнт Ясинського), тобто число, показує, у...
