Рухливі зосереджені джерела постійної потужності
Граничний стан . Якщо стежити за рухомим температурним полем, пов'язаним із зосередженим джерелом тепла, то можна помітити, що виникаюча на початку нагріву область підвищених температур з часом збільшується і досягає певних граничних розмірів. Рухливе температурне поле, як б насичене теплом джерела, тільки переміщається разом з ним. Таке стан процесу називається граничним або сталим.
Таким чином, процес нагрівання джерелом постійної потужності ділиться на два періоди;
I період - теплонасищеніе, коли розміри пов'язаної з джерелом нагрітої зони збільшуються;
II період-граничне або усталене стан процесу розповсюдження тепла, коли температурне поле залишається постійним. При нерухомому джерелі тепла нерухоме поле граничного стану називають стаціонарним. При рухомому джерелі пов'язане з ним температурне поле граничного стану називають квазістаціонарним. Процес поширення тепла прагне до граничного стану при необмежено тривалому дії джерела постійної потужності, тобто при t - > в€ћ.
Для визначення рівнянь, що описують процес поширення теплоти від рухомих безперервно діючих джерел, використовують принцип накладання. З цією метою весь період дії джерела теплоти розбивають на нескінченно малі відрізки часу dt . Дія джерела теплоти протягом нескінченно малого відрізка часу dt уявляють, як дія миттєвого джерела теплоти. Підсумовуючи процеси поширення теплоти від діючих один за одним в різних місцях тіла миттєвих джерел теплоти, отримують рівняння температурного поля при безперервній дії рухомого джерела теплоти.
Рис. 7.1 Схема руху безперервно діючого джерела потужністю q , перемещающегося зі швидкістю v :
а - точковий на поверхні напівнескінченних тіла; б - лінійний в нескінченній пластині; е - плоский в нескінченному стрижні
Рухливий точкове джерело теплоти на поверхні напівнескінченних тіла. Точкове джерело теплоти постійної потужності q рухається з постійною швидкістю v прямолінійно з точки Про 0 в напрямку осі х (рис. 7.1, а). Припустимо, що з моменту руху джерела минув час t Н і він знаходиться в точці О. Разом з джерелом теплоти переміщається рухома система координат, початок якої збігається з місцем розташування джерела теплоти, тобто з точкою О. Потрібно визначити температуру точки А (х, у, z ).
Для цього запишемо збільшення температури в точці А від миттєвого точкового джерела теплоти, який діяв протягом часу dt в точці О '. З моменту виділення теплоти в точці О ' минув час t . Використовуємо рівняння (6.1), вважаючи Q = qdt , а відстань:
(7.1)
Підсумовуємо прирощення температури від всіх елементарних джерел теплоти на лінії ГО 0 . Час розповсюдження теплоти від миттєвого джерела в точці Про дорівнює нулю, а від миттєвого джерела в точці Про 0 одно t Н . Тому інтеграл беремо в межах від 0 до t Н :
(7.2)
Після перетворення отримаємо:
(7.3)
де R 2 = x 2 + y 2 + z 2
Рівняння (7.3) виражає температурне поле в полубесконечной тілі в стадії теплонасищенія, тобто коли температура окремих точок безперервно підвищується. Після тривалої дії джерела теплоти досягається так зване граничний стан, коли температура точок в рухомій системі координат перестає змінюватися в часі. Такий стан досягається при t в†’ в€ћ і називається квазістаціонарним.
У цьому випадку рівняння (7.3) інтегрується після підстановки R 2 /4 at = u 2 і приймає вигляд
(7.4)
Температурне поле граничного стану симетрично щодо осі Ox (рис. 7.2). Ізотерми на поверхні xOy являють собою овальні криві, які згущені попереду джерела теплоти і розсунуті позаду нього.
Рис. 7.2 Температурне поле граничного стану при русі точкового джерела теплоти по поверхні напівнескінченних тіла:
а - ізотерми на поверхні хОу, б - ізотерми в поперечній площині xOz , проходить через центр джерела теплоти; в - розподіл температури по прямим, паралельним осі х та розташованим на поверхні масивного тіла; г - розподіл температури по прямим, паралельним осі у і лежачим в поперечної площині xOz ; д - схема розташування координатних осей
Розподіл температури по поверхні масивного тіла на відстані у, рівному 1, 2, 3 см , представлено відповідно кривими 1, 2, 3 на рис. 7.2, в. Температура точок при наближенні джерела теплоти різко зростає, досягає максимуму, а потім убуває. Зниження температури відбувається з меншою швидкістю, ніж її підйом. Максимум температури в точках, що знаходяться не на осі Ох, досягається після проходження джерелом теплоти площині, паралельній yOz , в якій знаходиться розглянута точка. У більш віддалених від осі Ох точках максимальна температура досягається пізніше і має менше чисельне значення в порівнянні з точками, розташованими ближче до осі Ох. Пунктирною лінією на рис. 7.2, а з'єднані точки з максимальною температурою на площині хОу. Поверхня розділу областей нагрівання й остигання виходить шляхом обертання пунктирною кривої відносно осі Ох. Область попереду пунктирною кривою нагрівається, позаду пунктирною кривою - остигає.
Нерухомий джерело теплоти. Якщо в рівнянні (7.4) v = 0, то будемо мати випадок стаціонарного температурного поля в полубесконечной тілі
(7.5)
Температура в напрямку від джерела теплоти убуває назад пропорційно R , т. тобто за законом гіперболи. Температура на даному відстані R прямо пропорційна потужності джерела теплоти q і обернено пропорційна коефіцієнту теплопровідності О» . Розподіл температури не залежить від теплоємності матеріалу сОі.
Рухливий лінійний джерело в пластині
Лінійний джерело теплоти потужністю q з рівномірним розподілом її по товщині пластини рухається з постійною швидкістю v (рис. 7.1, б) . Граничні площині z = 0 і z = Оґ віддають теплоту в навколишнє середовище, температура якої приймається рівною нулю. Коефіцієнт тепловіддачі О±.
Рівняння, що описує температурне поле в пластині, отримаємо аналогічно нагоди точкового джерела теплоти. Збільшення температури в точці А від миттєвого лінійного джерела теплоти, який діяв в точці О ', складе у відповідності з рівнянням (6.9)
(7.6)
Інтегруючи від 0 до t Н і перетворимо
(7.7)
де
Рівняння (7.7) виражає температурне поле в пластині в стадії теплонасищенія. Граничне квазістаціонарних станів досягається при t в†’ в€ћ. У цьому випадку рівняння приймає вигляд
(7.8)
де До 0 - модифікована функція Бесселя 2-го роду нульового порядку; b = 2О±/ c ОіОґ.
Рис. 7.3. Температурне поле граничного стану при русі лінійного джерела теплоти в нескінченної пластині:
а - ізотерми на поверхні пластини, пунктирна крива - точки з максимал...
