УО В«БДУІРВ»
кафедра інженерної графіки
РЕФЕРАТ
на тему:
В«ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМІЩЕНЬ МЕТОДОМ МОРУ. ПРАВИЛО Верещагін В»
МІНСЬК, 2008
Розглянемо тепер загальний метод визначення переміщень, придатний для будь-якої, лінійно деформируемой системи при будь-якому навантаженні. Цей метод запропонований видатним німецьким вченим О. Мором.
Нехай, наприклад, потрібно визначити вертикальне переміщення точки А балки, представленої на рис. 7.13, а. Задане (вантажне) стан позначимо літерою оскільки Виберемо допоміжне стан тієї ж балки з одиничною
силою, діючої в точці A і в напрямку шуканого переміщення. Допоміжне стан позначимо літерою i (рис. 7.13,6).
Обчислимо роботу зовнішніх і внутрішніх сил допоміжного стану на переміщеннях, викликаних дією сил вантажного стану.
Робота зовнішніх сил буде дорівнює добутку одиничної сили на шукане переміщення ya
а робота внутрішніх сил по абсолютній величині дорівнює інтегралу
Маємо
або
(1)
Формула (7.33) і є формула Мора (інтеграл Мора), яка дає можливість визначити переміщення в будь-якій точці лінійно-деформируемой системи.
У цій формулою подинтегральних твір MiMk позитивно, якщо обидва згинаючих моменту мають однаковий знак, і негативно, якщо Mi і Мк мають різні знаки.
Якщо б ми визначали кутове переміщення в точці А, то в стані i варто було б докласти в точці А момент, рівний одиниці (без розмірності).
Позначаючи буквою О” будь-яке переміщення (лінійне або кутове), формулу (інтеграл) Мора напишемо у вигляді
(2)
У загальному випадку аналітичний вираз Mi і Мк може бути різним на різних ділянках балки або взагалі пружної системи. Тому замість формули (2) слід користуватися більш загальною формулою
(3)
Якщо стрижні системи працюють не на вигин, а на розтяг (стиск), як, наприклад, в фермах, то формула Мора має вигляд
(4)
У цій формулою твір NiNK позитивно, якщо обидва зусилля розтягують або обидва стискають. Якщо стрижні одночасно працюють і на вигин і на розтягування (стиснення), то в звичайних випадках, як показують порівняльні розрахунки, переміщення можна визначати, враховуючи лише згинальні моменти, так як вплив поздовжніх сил вельми мало.
За тим же міркувань, як зазначалося раніше, у звичайних випадках можна не враховувати впливу поперечних сил.
Замість безпосереднього обчислення інтеграла Мора можна користуватися графо-аналітичним прийомом В«способом перемноження епюрВ», або правилом Верещагіна.
Розглянемо два епюри згинальних моментів, з яких одна Мк має довільне обрис, а інша Мi прямолінійна (Рис 7.14, а і б).
Перетин стрижня на ділянці AВ будемо вважати постійним. У цьому випадку
(5)
Величина MKdz являє собою елементарну площа dП‰k епюри Мк (заштрихована на малюнку). Таким чином,
(6)
Але
(7)
отже,
(8)
Але являє є статичний момент площі епюри Мк щодо деякої осі у, що проходить через точку О, рівний П‰kzc, де П‰k - площа епюри моментів; zс - відстань від осі у до центра ваги епюри Мк. З креслення видно, що
(9)
де МСI - ордината епюри Mi, розташована під центром ваги епюри Мк (під точкою С). Отже,
(10)
т. тобто шуканий інтеграл дорівнює добутку площі епюри Мк (будь по обрису) на розташовану під її центром ваги ординату прямолінійною епюри МСI. Значення величини П‰кМсi вважається позитивним, якщо обидві епюри розташовуються по одну сторону стрижня, і негативним, якщо вони розташовуються по різні боку. Позитивний результат перемножування епюр означає, що напрямок переміщення збігається з напрямком одиничної сили (або моменту).
Необхідно пам'ятати, що ордината МСI береться обов'язково в прямолінійній епюрі. В тому окремому випадку, коли обидві епюри прямолінійні, можна помножити площу будь-якої з них на відповідну ординату іншої.
Для стрижнів змінного перерізу правило Верещагіна перемножування епюр незастосовне, так як в цьому випадку вже не можна виносити величину EJ-під знака інтеграла. У цьому випадку слід висловити EJ як функцію абсциси перетину і потім вже обчислювати інтеграл Мора (1).
При ступінчастому зміні жорсткості стрижня інтегрування (або перемножування епюр) виробляють для кожної ділянки окремо (зі своїм значенням EJ) і потім підсумовують результати.
У табл. 1 наведені значення площ деяких найпростіших епюр і координат їх центру тяжкості.
Таблиця 1
Вид епюри
Площа епюри
Відстань до центру тяжіння
Для прискорення обчислень можна використовувати готові таблиці множення епюр (Табл.2). ​​
У цій таблиці, в клітинах на перетині відповідних елементарних епюр, наведені результати перемноження цих епюр.
При розбивці складної епюри на елементарні, представлені в табл. 1 і 7.2, слід мати на увазі, що параболічні епюри отримані від дії тільки однієї розподіленого навантаження.
У тих випадках, коли в складній епюрі криволінійні ділянки виходять від одночасної дії зосереджених моментів, сил і рівномірно розподіленого навантаження, щоб уникнути помилки слід складну епюру попередньо В«РозшаруватиВ», тобто розбити її на ряд самостійних епюр: від дії зосереджених моментів, сил і від дії рівномірно розподіленого навантаження.
Можна також застосувати інший прийом, не вимагає розшарування епюр, а вимагає лише виділення криволінійної частини епюри по хорді, що сполучає крайні її точки.
Покажемо обидва способи на конкретному прикладі.
Нехай, наприклад, потрібно визначити вертикальне переміщення лівого кінця балки (Рис. 7.15).
Сумарна епюра від навантаження представлена ​​на рис. 7.15, а.
Таблиця 7.2
Mi
Mk
|
