Елементи сферичної геометрії

Екзаменаційний реферат по геометрії

Виконав учень 11 В«бВ» класу

Шкерін Андрій Володимирович

МОУ В«Гагінская середня загальноосвітня школа В»

Гагин 2008

Введення

Протягом багатьох століть людство не переставало поповнювати свої наукові знання в тій чи іншій галузі науки. Стереометрія, як наука про фігури в просторі, невід'ємно пов'язана з багатьма з наукових дисциплін. До таких дисциплін належать: математика, фізика, інформатика і програмування, а також хімія і біологія. В останніх стоїть проблема вивчення мікросвіту, який являє собою складну комбінацію різних частинок в просторі відносно один одного. В архітектурі постійно використовуються теореми та наслідки з стереометрії.

Безліч вчених геометрів, та й простих людей, цікавилися такою фігурою як куля і його В«оболонкоюВ», що носить назву сфера. Дивно, але куля є єдиним тілом, що володіє меншою площею поверхні при обсязі, рівному обсягу інших порівнюваних тіл, таких як куб, призма або інші всілякі многогранники. З кулями ми маємо справу щодня. Приміром, майже кожна людина користується кульковий ручкою в кінець стержня якої вмонтовано металева куля, що обертається під дією сил тертя між ним і папером і в процесі повороту на своїй поверхні куля В«виноситьВ» чергову порцію чорнила. В автомобільній промисловості виготовляються кульові опори, що є дуже важливою деталлю в автомобілі і забезпечує правильний поворот коліс і стійкість машини на дорозі. Елементи машин, літаків, ракет, мотоциклів, снарядів, плавальних суден, що піддаються постійним діям води або повітря, переважно мають якісь сферичні поверхні, звані обтічниками.

Прирощення знань про кулі і сфері призвело до виникнення нового розділу математики - сферичної геометрії, в якій вивчаються фігури, розташовані на сфері. У своїй роботі спробую викласти основні елементи сферичної геометрії, розглянути найважливіші закономірності в цій галузі знання.

Об'єктом роботи є сферична геометрія як один з розділів геометрії. Предмет роботи - основні закономірності та особливості сферичної геометрії.

Мета роботи - виявити основні елементи сферичної геометрії і описати найважливіші положення даної галузі наукового знання.

Для здійснення мети необхідно вирішити ряд завдань:

Охарактеризувати специфіку сферичної геометрії як галузі математики;

Визначити основні поняття сферичної геометрії;

Описати найважливіші положення сферичної геометрії;

Розглянути особливості фігур, розташованих на сфері.

Структура роботи зумовлена ​​метою та завданнями дослідження. Робота складається з вступу, двох розділів, розбитих на параграфи, висновку і списку літератури.

Глава 1. Куля і сфера

1.1. Куля і кульова поверхня

Кульовий або сферичною поверхнею називається геометричне місце точок простору, віддалених від даної точки О (центру) на задану відстань R (радіус). Весь простір по відношенню до даної кульової поверхні розбивається на внутрішню область (куди можна приєднати і точки самої поверхні) і зовнішню. Перша з цих областей називається кулею. Отже, куля - геометричне місце всіх точок, віддалених від заданої точки О (Центру) на відстань, що не перевищує даної величини R (радіусу). Кульова поверхня є межею, що відокремлює кулю від навколишнього простору.

кульової поверхні і кулю можна отримати також, обертаючи окружність (коло) навколо одного з діаметрів.

Розглянемо коло з центром О і радіусом R (рис. 1), що лежить в площині О». Будемо обертати її навколо діаметра АВ. Тоді кожна з точок кола, наприклад М, в свою чергу опише при обертанні окружність, що має своїм центром точку М0-проекцію обертової точки М на вісь обертання АВ. Площина цієї окружності перпендикулярна до осі обертання. Радіус ОМ, провідний з центру вихідної окружності в точку М, буде зберігати свою величину в усі час обертання, і тому точка М весь час буде перебувати на сферичної поверхні з центром О і радіусом R. Кульова поверхня може бути отримана обертанням окружності навколо будь-якого з її діаметрів.

Сам кулю як тіло виходить обертанням круга; ясно, що для отримання всього кулі достатньо обертати півколо близько обмежує його діаметра.

Ці геометричні об'єкти, так само як окружність і коло, розглядали ще в глибоку давнину. Відкриття кулястості Землі, появу уявлень про небесній сфері дали поштовх до розвитку спеціальної науки - Сферика (сферична геометрія), що вивчає розташовані на сфері фігури.

1.2. Сферична геометрія

Сферична геометрія - розділ математики, в якому вивчаються фігури, розташовані на сфері. Вона являє собою своєрідний міст між планіметрії і стереометрії, так як сферичні багатокутники виходять в перетині сфери з багатогранними кутами з вершинами у центрі сфери, сферичні кола - в перетині сфери з конічними поверхнями і т.д. Сферична геометрія виникла у зв'язку з потребами астрономії. Мабуть, першим зверненням людства до того, що потім отримає назву сферичної геометрії, була планетарна теорія грецького математика Евдокса (Бл. 408-355гг. До н.е.), одного з учнів Академії Платона. Це була спроба пояснити рух планет навколо Землі за допомогою чотирьох обертових концентричних сфер, кожна з яких мала особливу вісь обертання з кінцями, закріпленими на охоплює сфері, до якої, в свою чергу, були В«прибитіВ» зірки. Таким чином пояснювалися хитромудрі траєкторії планет (у перекладі з грецької В«ПланетаВ» - блукаюча). Саме завдяки такій моделі давньогрецькі вчені вміли досить точно описувати і передбачати рухи планет. Це було необхідно, наприклад, в мореплаванні, а так само в багатьох інших В«земнихВ» задачах, де потрібно було враховувати, що Земля - ​​не плоский млинець, що спочивають на трьох китах.

Значний внесок у сферичну геометрію вніс Минулий з Олександрії жив у 1 столітті. Його праця Сферика став вершиною досягнень греків в цій області. У Сферика розглядаються сферичні трикутники - предмет, якого немає у Евкліда. Минулий переніс на сферу евклидову теорію плоских трикутників і в числі іншого отримав умова, при якому три точки на сторонах сферичного трикутника або їх продовженнях лежать на одній прямій. Відповідна теорема для площини в той час була вже широко відома, проте в історію геометрії вона увійшла саме як теорема Менелая, причому, на відміну від Птолемея, у якого в роботах чимало обчислень, трактат Менелая геометричний строго в дусі евклідової традиції.

Таким чином, потреби людини в астрономічних знаннях, призвели до виникнення особливої вЂ‹вЂ‹галузі математичної науки - сферична геометрія. Ця наука отримала широке поширення в даний час.

Глава 2. Елементи сферичної геометрії

2.1. Основні положення сферичної геометрії

Саме великим окружностях і відводиться роль прямих в сферичної геометрії. Як правило, через дві точки на сфері, як і на площині, можна провести тільки одну сферичну пряму. Виняток становлять діаметрально протилежні точки: наприклад, через полюси на глобусі проходить нескінченно багато меридіанів. Всяка площину, що перетинає сферу, дає в перерізі окружність. Якщо площина проходить через центр сфери, то в перерізі виходить так званий великий круг. Через будь-які дві точки на сфері, крім діаметрально протилежних, можна провести єдиний великий круг. (На глобусі прикладом великого кола служить екватор і всі меридіани.) Через діаметрально протилежні точки проходить нескінченна кількість великих кіл. Менша дуга AmB (рис. 2) великого кола є найкоротшою з усіх ліній на сфері, що з'єднують задані точки. Така лінія називається геодезичною.

Рис.2

Геодезичні лінії грають на сфері ту ж роль, що і прямі в планіметрії. Багато положень геометрії на площині справедливі і на сфері, але, на відміну від площини, дві сферичні прямі перетинаються у двох діаметрально протилежних точках. Таким чином, в с...феричної геометрії просто не існує поняття паралельності. Ще одна відмінність - сферична пряма замкнута, тобто рухаючись по ній в одному і тому ж напрямку, ми повернемося у вихідну точку, точка не розбиває пряму на дві частини. Ось ще здивування сферичної геометрії: трикутник на сфері може мати відразу три прямих кута, якщо, наприклад, він обмежений двома перпендикулярними меридіанами і екватором.

Рис.3

Тепер познайомимося з поняттями сферичної геометрії. При цьому ми будемо постійно порівнювати їх з поняттями звичайної геометрії.

2.2. Прямі, відрізки, відстані і кути на сфері

Прямими на сфері вважаються великі кола. Якщо дві точки належать великому колу, то довжина меншої з дуг, що з'єднують ці точки, визначається як сферичне відстань між цими точками, а сама дуга - як сферичний відрізок. Діаметрально протилежні точки з'єднані нескінченним числом сферичних відрізків - великих напівкіл. Довжина сферичного відрізка визначається через радіани міру центрального кута пЃЎ і радіус сфери R (рис. 4), за формулою довжини дуги вона дорівнює R пЂ  пЃЎ. Будь-яка точка С сферичного відрізка АВ розбиває його на два, і сума їх сферичних довжин, як і в планіметрії, дорівнює довжині всього відрізка, тобто пѓђ АОС + пѓђ СОВ = пѓђ АОВ. Для будь же точки D поза відрізка АВ має місце В«сферичне нерівність трикутникаВ»: сума сферичних відстаней від D до А і від D до В більше АВ, тобто пѓђ AOD + пѓђ DOB> пѓђ AOB, - повну відповідність між сферичної та плоскої геометрії. Нерівність трикутника - одне з основоположних в сферичної геометрії, з нього випливає, що, як і в планіметрії, сферичний відрізок коротше будь сферичної ламаної, а значить, і будь кривої на сфері, що з'єднує його кінці.

Рис.4

Таким же чином на сферу можна перенести і багато інші поняття планіметрії, зокрема ті, які можна виразити через відстані. Наприклад, сферична окружність - безліч точок сфери, рівновіддалених від заданої точки Р. Легко показати, що окружність лежить в площині, перпендикулярній діаметру сфери РР `(рис. 5), тобто це звичайна плоска коло з центром на діаметрі РР `. Але сферичних центрів у неї два: Р і Р `. Ці центри прийнято називати полюсами. Якщо звернутися до глобусу, то можна бачити, що йдеться саме про таких кіл, як паралелі, і сферичними центрами всіх паралелей є Північний і Південний полюси. Якщо діаметр пЃІ сферичної окружності дорівнює пЃ°/2, то сферична окружність перетворюється в сферичну пряму. (На глобусі - екватор). У цьому випадку таку окружність називають поляри кожній з точок Р і P `.

Рис.5

Одним з найважливіших понять у геометрії є рівність фігур. Фігури вважаються рівними, якщо одну на іншу можна відобразити таким чином (поворотом і перенесенням), що збережуться відстані. Це вірно і для сферичної геометрії.

Кути на сфері визначаються наступним чином. При перетині двох сферичних прямих a і b на сфері утворюються чотири сферичних двуугольніка, подібно до того, як дві пересічні прямі на площині розбивають її на чотири плоских кута (рис. 6).

Рис.6

Кожному з двуугольніков відповідає двогранний кут АОВ, утворений діаметральними площинами, що містять a і b.

2.3. Сферичний трикутник

Серед всіх сферичних багатокутників найбільший інтерес представляє сферичний трикутник. Три великих кола, перетинаючись попарно в двох точках, утворюють на сфері вісім сферичних трикутників. Знаючи елементи (сторони та кути) одного з них, можна визначити елементи всіх інших, тому розглядають співвідношення між елементами одного з них, того, у якого всі сторони менше половини великого кола. Сторони трикутника вимірюються плоскими кутами тригранного кута ОАВС, кути трикутника - двогранними кутами того ж тригранного кута [1] (Рис. 7).

рис. 7

Багато властивості сферичного трикутника (а вони одночасно є і властивостями тригранних кутів) майже повністю повторюють властивості звичайного трикутника. Серед них - нерівність трикутника, яке на мові тригранних кутів свідчить, що будь-який плоский кут тригранного кута менше суми двох інших. Або, наприклад, три ознаки рівності трикутників. Всі планіметричних слідства згаданих теорем разом з їх доказами залишаються справедливими на сфері. Так, безліч точок, рівновіддалених від кінців відрізка, буде і на сфері перпендикулярній до нього прямий, що проходить через його середину, звідки випливає, що серединні перпендикуляри до сторін сферичного трикутника AВС мають спільну точку, точніше, дві діаметрально протилежні загальні точки Р і Р `, що є полюсами його єдиною описаного кола (Рис. 8). У стереометрії це означає, що близько будь-якого тригранного кута можна описати конус. Легко перенести на сферу і теорему про те, що бісектриси трикутника перетинаються в центрі його вписаного кола.

рис. 8

Теореми про перетин висот і медіан також залишаються вірними, але їх звичайні докази в планіметрії використовують паралельність, якої, на сфері немає, і тому простіше довести їх заново, на мові стереометрії. Рис. 9 ілюструє доказ сферичної теореми про медіані: площини, що містять медіани сферичного трикутника АВС, перетинають плоский трикутник з тими ж вершинами по його звичайним медіану, отже, всі вони містять радіус сфери, що проходить через точку перетину плоских медіан. Кінець радіусу і буде спільною точкою трьох В«СферичнихВ» медіан.

Рис. 9

Властивості сферичних трикутників багато в чому відрізняються від властивостей трикутників на площині. Так, до відомих трьом випадкам рівності прямолінійних трикутників додається ще й четвертий: два трикутника АВС і А `В` С `рівні, якщо рівні відповідно три кути пѓђ А = пѓђ А `, пѓђ В = пѓђ В`, пѓђ С = пѓђ С `. Таким чином, на сфері не існує подібних трикутників, більш того, в сферичної геометрії немає самого поняття подібності, тому не існує перетворень, що змінюють всі відстані в однакове (не рівне 1) число разів. Ці особливості пов'язані з порушенням евклідової аксіоми про паралельних прямих і також притаманні геометрії Лобачевського. Трикутники, мають рівні елементи і різну орієнтацію, називаються симетричними, такі, наприклад, трикутники АС `С і ВСС` (рис. 10).

рис. 10

Сума кутів всякого сферичного трикутника завжди більше 180 п‚°. Різниця пѓђ А + пѓђ В + пѓђ С - пЃ° = пЃ¤ (Вимірювана в радіанах) - величина позитивна і називається сферичним надлишком даного сферичного трикутника. Площа сферичного трикутника: S = R2 пЂ  пЃ¤ де R - радіус сфери, а пЃ¤ - сферичний надлишок. Ця формула вперше була опублікована голландцем А.Жіраром в 1629г. і названа його ім'ям.

2.4. Координати на сфері

Кожна точка на сфері визначається завданням двох чисел; ці числа (координати) визначаються наступним чином (рис. 11). Фіксується певний велике коло QQ `(екватор), одна з двох точок перетину діаметра сфери PP `, перпендикулярного до площини екватора, з поверхнею сфери, наприклад Р (полюс), і один з великих напівкіл PAP `, що виходять з полюса (перший меридіан). Великі півкола, що виходять з P, називаються меридіанами, малі кола, паралельні екватора, такі, як LL `, - паралелями. В якості однієї з координат точки M на сфері приймається кут пЃ± = POM (висота точки), в якості другої - кут пЃЄ = AON між перший меридіаном і меридіаном, що проходить через точку M (довгота точки, відраховується проти годинникової стрілки).

рис. 11

У географії (на глобусі) в якості першого меридіана прийнято використовувати Грінвіцький меридіан, що проходить через головний зал Грінвічській обсерваторії (Грінвіч - міський округ Лондона), він поділяє Землю на Східне і Західне півкулі, відповідно і довгота буває східній або західній і вимірюється від 0 до 180 В° в обидві сторони від Грінвіча. А замість висоти точки в географії прийнято використовувати широту, тобто кут NOM = 90 В° - пЃ±, відлічуваний від екватора. Т.к. екват...ор ділить Землю на Північне і Південне півкулі, то і широта буває північній або південній і змінюється від 0 до 90 В°. Сферичні координати з прямокутними декартовими координатами встановлюється наступними формулами: x = r sin пЃ± пЂ  соs пЃЄ пЂ  пЂ» пЂ  y = r sin пЃ± sin пЃЄ пЂ  пЂ» пЂ  z = r соs пЃ± пЂ®

2.5. Сферична тригонометрія

Сферична тригонометрія - розділ тригонометрії, в якому вивчаються залежності між величинами кутів і довжинами сторін трикутників, а також алгебраїчними тождествами тригонометричних функцій стосовно до сферичним трикутникам. Застосовується для вирішення різних геодезичних та астрономічних задач.

Нехай А, В, С - кути і а, b, с - противолежащие їм сторони сферичного трикутника ABC (рис.12). Кути і сторони сферичного трикутника зв'язані наступними основними формулами Сферична тригонометрія:

cos а = cos b cos з + sin b sin з cos А,

cos A = - cos B cos С + sin B sin З cos a,

sin a cos B = cos b sin c - sin b cos з cos А,

sin А cos b = cos B sin C + sin B cos З cos a;

рис.12

У цих формулах боку а, b, с вимірюються відповідними центральними кутами.

Для прямокутних сферичних трикутників (А = 90 `, а - гіпотенуза, b, с-катети) формули сферичної тригонометрії спрощуються, наприклад:

sin b = sin a sin В,

cos a = cos b cos c,

sin a cos B = cos b sin c.

Формули сферичної тригонометрії дозволяють по будь-яким трьом елементам сферичного трикутника визначити три інші (вирішити трикутник).

Розглянуті елементи сферичної геометрії дають нам узагальнене уявлення про даній області математичної науки.

2.6. Застосування сферичної геометрії на практиці

Висновок

своїх роботах.

Список літератури

:

Атанасян Л.С. з ньому. - 3-е изд. Посібник. - испр. і доп. - М.: Вища. школа, 1990. - 344 с.

для пед. -М. Л.: держ. 1992. - 333 с.

/Під ред.

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту referat.ru/