Екзаменаційний реферат по геометрії
Виконав учень 11 В«бВ» класу
Шкерін Андрій Володимирович
МОУ В«Гагінская середня загальноосвітня школа В»
Гагин 2008
Введення
Протягом багатьох століть людство не переставало поповнювати свої наукові знання в тій чи іншій галузі науки. Стереометрія, як наука про фігури в просторі, невід'ємно пов'язана з багатьма з наукових дисциплін. До таких дисциплін належать: математика, фізика, інформатика і програмування, а також хімія і біологія. В останніх стоїть проблема вивчення мікросвіту, який являє собою складну комбінацію різних частинок в просторі відносно один одного. В архітектурі постійно використовуються теореми та наслідки з стереометрії.
Безліч вчених геометрів, та й простих людей, цікавилися такою фігурою як куля і його В«оболонкоюВ», що носить назву сфера. Дивно, але куля є єдиним тілом, що володіє меншою площею поверхні при обсязі, рівному обсягу інших порівнюваних тіл, таких як куб, призма або інші всілякі многогранники. З кулями ми маємо справу щодня. Приміром, майже кожна людина користується кульковий ручкою в кінець стержня якої вмонтовано металева куля, що обертається під дією сил тертя між ним і папером і в процесі повороту на своїй поверхні куля В«виноситьВ» чергову порцію чорнила. В автомобільній промисловості виготовляються кульові опори, що є дуже важливою деталлю в автомобілі і забезпечує правильний поворот коліс і стійкість машини на дорозі. Елементи машин, літаків, ракет, мотоциклів, снарядів, плавальних суден, що піддаються постійним діям води або повітря, переважно мають якісь сферичні поверхні, звані обтічниками.
Прирощення знань про кулі і сфері призвело до виникнення нового розділу математики - сферичної геометрії, в якій вивчаються фігури, розташовані на сфері. У своїй роботі спробую викласти основні елементи сферичної геометрії, розглянути найважливіші закономірності в цій галузі знання.
Об'єктом роботи є сферична геометрія як один з розділів геометрії. Предмет роботи - основні закономірності та особливості сферичної геометрії.
Мета роботи - виявити основні елементи сферичної геометрії і описати найважливіші положення даної галузі наукового знання.
Для здійснення мети необхідно вирішити ряд завдань:
Охарактеризувати специфіку сферичної геометрії як галузі математики;
Визначити основні поняття сферичної геометрії;
Описати найважливіші положення сферичної геометрії;
Розглянути особливості фігур, розташованих на сфері.
Структура роботи зумовлена ​​метою та завданнями дослідження. Робота складається з вступу, двох розділів, розбитих на параграфи, висновку і списку літератури.
Глава 1. Куля і сфера
1.1. Куля і кульова поверхня
Кульовий або сферичною поверхнею називається геометричне місце точок простору, віддалених від даної точки О (центру) на задану відстань R (радіус). Весь простір по відношенню до даної кульової поверхні розбивається на внутрішню область (куди можна приєднати і точки самої поверхні) і зовнішню. Перша з цих областей називається кулею. Отже, куля - геометричне місце всіх точок, віддалених від заданої точки О (Центру) на відстань, що не перевищує даної величини R (радіусу). Кульова поверхня є межею, що відокремлює кулю від навколишнього простору.
кульової поверхні і кулю можна отримати також, обертаючи окружність (коло) навколо одного з діаметрів.
Розглянемо коло з центром О і радіусом R (рис. 1), що лежить в площині О». Будемо обертати її навколо діаметра АВ. Тоді кожна з точок кола, наприклад М, в свою чергу опише при обертанні окружність, що має своїм центром точку М0-проекцію обертової точки М на вісь обертання АВ. Площина цієї окружності перпендикулярна до осі обертання. Радіус ОМ, провідний з центру вихідної окружності в точку М, буде зберігати свою величину в усі час обертання, і тому точка М весь час буде перебувати на сферичної поверхні з центром О і радіусом R. Кульова поверхня може бути отримана обертанням окружності навколо будь-якого з її діаметрів.
Сам кулю як тіло виходить обертанням круга; ясно, що для отримання всього кулі достатньо обертати півколо близько обмежує його діаметра.
Ці геометричні об'єкти, так само як окружність і коло, розглядали ще в глибоку давнину. Відкриття кулястості Землі, появу уявлень про небесній сфері дали поштовх до розвитку спеціальної науки - Сферика (сферична геометрія), що вивчає розташовані на сфері фігури.
1.2. Сферична геометрія
Сферична геометрія - розділ математики, в якому вивчаються фігури, розташовані на сфері. Вона являє собою своєрідний міст між планіметрії і стереометрії, так як сферичні багатокутники виходять в перетині сфери з багатогранними кутами з вершинами у центрі сфери, сферичні кола - в перетині сфери з конічними поверхнями і т.д. Сферична геометрія виникла у зв'язку з потребами астрономії. Мабуть, першим зверненням людства до того, що потім отримає назву сферичної геометрії, була планетарна теорія грецького математика Евдокса (Бл. 408-355гг. До н.е.), одного з учнів Академії Платона. Це була спроба пояснити рух планет навколо Землі за допомогою чотирьох обертових концентричних сфер, кожна з яких мала особливу вісь обертання з кінцями, закріпленими на охоплює сфері, до якої, в свою чергу, були В«прибитіВ» зірки. Таким чином пояснювалися хитромудрі траєкторії планет (у перекладі з грецької В«ПланетаВ» - блукаюча). Саме завдяки такій моделі давньогрецькі вчені вміли досить точно описувати і передбачати рухи планет. Це було необхідно, наприклад, в мореплаванні, а так само в багатьох інших В«земнихВ» задачах, де потрібно було враховувати, що Земля - ​​не плоский млинець, що спочивають на трьох китах.
Значний внесок у сферичну геометрію вніс Минулий з Олександрії жив у 1 столітті. Його праця Сферика став вершиною досягнень греків в цій області. У Сферика розглядаються сферичні трикутники - предмет, якого немає у Евкліда. Минулий переніс на сферу евклидову теорію плоских трикутників і в числі іншого отримав умова, при якому три точки на сторонах сферичного трикутника або їх продовженнях лежать на одній прямій. Відповідна теорема для площини в той час була вже широко відома, проте в історію геометрії вона увійшла саме як теорема Менелая, причому, на відміну від Птолемея, у якого в роботах чимало обчислень, трактат Менелая геометричний строго в дусі евклідової традиції.
Таким чином, потреби людини в астрономічних знаннях, призвели до виникнення особливої вЂ‹вЂ‹галузі математичної науки - сферична геометрія. Ця наука отримала широке поширення в даний час.
Глава 2. Елементи сферичної геометрії
2.1. Основні положення сферичної геометрії
Саме великим окружностях і відводиться роль прямих в сферичної геометрії. Як правило, через дві точки на сфері, як і на площині, можна провести тільки одну сферичну пряму. Виняток становлять діаметрально протилежні точки: наприклад, через полюси на глобусі проходить нескінченно багато меридіанів. Всяка площину, що перетинає сферу, дає в перерізі окружність. Якщо площина проходить через центр сфери, то в перерізі виходить так званий великий круг. Через будь-які дві точки на сфері, крім діаметрально протилежних, можна провести єдиний великий круг. (На глобусі прикладом великого кола служить екватор і всі меридіани.) Через діаметрально протилежні точки проходить нескінченна кількість великих кіл. Менша дуга AmB (рис. 2) великого кола є найкоротшою з усіх ліній на сфері, що з'єднують задані точки. Така лінія називається геодезичною.
Рис.2
Геодезичні лінії грають на сфері ту ж роль, що і прямі в планіметрії. Багато положень геометрії на площині справедливі і на сфері, але, на відміну від площини, дві сферичні прямі перетинаються у двох діаметрально протилежних точках. Таким чином, в с...
