Всією нашим життям правлять закони ймовірності. Хто знає, що чекає нас завтра - виграш в лотереї або нещасний випадок? Точно передбачити майбутнє неможливо. Але, володіючи всій потрібною інформацією, можна прорахувати ступінь ймовірності того або іншого події.
Підкидаючи монетку, ми говоримо, що ймовірність випадання "орла" або "Решки" становить 50 на 50. Це означає, що з 100 спроб монета ляже 50 разів "орлом" вгору і стільки ж - "решкою". Втім, говорити про ймовірність 50:50 не зовсім вірно, так як шанс чи ймовірність даної події - це число подій, що відбулися, розділене на загальне число отриманих результатів. Таким чином, і "орел", і "решка" можуть випасти по 50 разів з 100. Ступінь імовірності можна виразити як 50%, 0.5, 1 з 2 або 1/2.
Шанси
Іноді замість ймовірності події ми говоримо про шанси за чи проти, співвідносячи число шансів на користь і проти даної події. У випадку з однією монеткою з двох можливих результатів є один шанс, що "орел" випаде, і один - що не випаде. Тому їх співвідношення становить 1:1, або шанси рівні. Кажучи, що є тільки два можливих варіанти падіння підкинутою монети, ми відкидаємо нікчемну ймовірність падіння монети на ребро. Однак при обчисленні шансів це не має абсолютно ніякого значення - цим результатом нехтуватимуть і підкинуть монету ще раз. Тепер спробуємо підкидати відразу дві монетки. В результаті будуть випадати або два "орла", або дві "решки", або "Орел" і "решка". Здавалося б, шанс кожного з цих результатів дорівнює 1/3. Однак, підкинувши два монетки 100 разів підряд, ви виявите, що два "орла" і дві "решки" випали приблизно по 25 разів, а комбінація одного "орла" з однією "решкою" - близько 50. Значить, шанси для двох "орлів" і двох "решек" складають приблизно по 1/4, зате для одного "орла" та однієї "Решки" - близько 50/100 або 1/2. Чому ж так виходить?
>
Відповідь легко знайти, якщо взяти одну мідну і одну срібну монетку. Комбінація "Орел-решка" може випасти двома способами: або мідний "Орел" і срібна "решка", або навпаки. Іншими словами, можливих результатів тут не 3, а 4. Два з них дають комбінацію "орла" та "Решки", і тільки по одному - два "орла" та дві "Решки". Ось чому комбінації "орел-решка" випадають вдвічі частіше, ніж будь-яка інша. У цьому випадку шанси проти двох "орлів" складають 2:1 і стільки ж проти двох "решек", тоді як у комбінації "орел-решка" шанси 1:1.
Перестановки
В випадку з двома монетами математик сказав би, що існують чотири можливі перестановки "орла" і "решки", але лише в трьох можливих поєднаннях. Іншими словами, перестановка "орел-решка" не ідентична перестановці "решка-орел", але обидві складають одне поєднання. Тут неважко заплутатися, так як у повсякденному житті ці слова застосовуються в іншому значенні. Цифровий замок, що відкривається комбінацією 1-2-3-4, не відкриється, якщо набрати 1-3-2-4. Будучи одним математичним поєднанням, обидва набору цифр є різними перестановками. Так що правильніше назвати цей замок "перестановочне". Також неправильно називають пермутації, або "Перм", сполучення цифр на футбольному купоні.
Загальне число перестановок, одержуваних при підкиданні монет, можна обчислити, перемноживши кількості варіантів падіння кожної монети. Маючи дві монети, ми отримаємо 2x2 = 4 перестановки. З 4 монетами вийде 2 х 2 х 2 х 2 = 16 перестановок.
Таким же способом можна прорахувати число перестановок для гральних кісток. Скажімо, для двох кісток їх число дорівнює 6 х 6 = 36, а для трьох - 6x6x6 = 216.
Який шанс того, що у двох перших-ліпших людей співпадуть дні народження? Якщо знехтувати зайвими днями високосних років, тоді він дорівнює 1/365. Інакше кажучи, це дуже малоймовірно. Якщо взяти клас з 36 учнів, можна подумати, що шанс такого збігу все ще невеликий - приблизно 36 з 365 або 1/10. Але, як не дивно, насправді він набагато вище - 8:10 або 80%.
Єдиною трудністю в таких завданнях є велика кількість можливих перестановок. День народження може співпасти у Джона і Мері, в Мері і Фреда або у будь-який інший пари учнів. А в класі з 36 хлопців існують 630 можливих пар. Справа в тому, що є 36 варіантів вибору першого члена пари і 35 - другого. Перемноживши 36 на 35, ми отримаємо 1260 перестановок, але число поєднань вдвічі менше цієї цифри, так як, наприклад, перестановки "Джон-Мері" та "Мері-Джон" є одним поєднанням. Тому загальне число поєднань одно 1260/2 = 630. До щастя, замість того щоб розглядати всі ці варіанти, нашу задачу можна вирішити простіше. Розглянемо варіант повного неспівпадання днів народження.
Якщо ми попросимо всіх учнів по черзі назвати свій день народження, то 364 шансу з 365 або 364/365 будуть за те, що другий з названих днів не співпаде з першим. Шанс неспівпадання третього з названих днів з першими двома становить 363 з 365, так як тепер можуть співпасти вже дві дати з 365. Продовживши до кінця, ви виявите, що шанс неспівпадання Зб-го за рахунком дня народження з рештою дорівнює 330/365 або близько 90%. Втім, шанс повного неспівпадання днів народження в класі можна обчислити, перемноживши всі ці дробові величини. Спробуйте зробити це на калькуляторі і побачите, що шанс повного неспівпадання днів народжень дорівнює приблизно 20%.
А що в середньому?
Коли ми говоримо про п'ятдесятивідсотковою ймовірності того, що щось відбудеться, ми маємо на увазі, що ця подія відбувається в середньому в 50 випадках зі 100. Але результати навіть декількох нескладних дослідів можуть говорити про зворотне. Візьмемо крайній випадок. Підкинувши монету всього один раз, ми отримаємо або стовідсоткового "Орла", або стовідсоткову "решку". Але, підкидаючи монету досить багато разів, ми побачимо, що відсоток "орлів" наближається до п'ятдесяти. Дехто помилково вважає, що цей факт допомагає передбачити події, що залежать виключно від волі випадку. Скажімо, якщо "орел" випав чотири рази поспіль, то в черговий раз монета, швидше за все, впаде "Решкою" вгору. Причина нібито в тому, що заради збереження золотої п'ятдесятивідсотковою середини "решка" просто необхідна. Насправді ж справі в довгому ряду подій навряд чи знайдеться така точка, де співвідношення "Орлів" і "решек" дорівнювало б точно п'ятдесяти відсоткам, і мова йде тільки про цифру, навколо якої воно буде коливатися. Але між розрахунковим і фактичним кількістю "орлів" і "решек" звичайно завжди є невелика розбіжність. Наприклад, чотири зайвих "Орла" в ряду з 1000 підкидань (502 "орла", 498 "Решек") дадуть результат дуже близький до п'ятдесяти відсоткам прогностичних "орлів", який і буде розглядатися як підтвердження розрахунків. Правило ж у тому, що результат одного випадкового події подібного типу не впливає на результат наступного. Такі події називають незалежними.
Не всі події незалежні. Наприклад, шанс витягнути карту червоної масті зі звичайної колоди в 52 аркуша дорівнює п'ятдесяти відсоткам. Однак після цього у вашій колоді залишиться 25 червоних карток з 51. Тому шанс витягнути наступну червону картку складе тепер 25/51 або близько сорока дев'яти відсотків. Зрозуміло, якщо вийняту карту кожного разу повертати в колоду, то шанс витягнути карту будь-якого кольору завжди буде дорівнювати п'ятдесяти відсоткам. У деяких карткових іграх досвідчені гравці можуть постійно вигравати, чіпко тримаючи в пам'яті скинуті карти і оцінюючи шанси появи у них або у партнерів потрібних їм карт.
Букмекери
В азартних іграх заради наживи або задоволення робляться ставки на певний результат чи подія. Не в силах боротися зі спокусою, деякі люди просаджують за гральним столом нечувані гроші. Декому, щоправда, вдається зірвати куш, але більшість, в кінцевому рахунку, залишається в програші. Ось чому гральним бізнесом промишляють окремі люди, і цілі компанії заради прибутку, що надходить від клієнтів. Букмекери на скачках отримують прибуток, пропо...
