Для вивчення пропонуються поняття кільця, комутативність кільця і ​​області целосности, гомоморфізму і ізоморфізму кілець, подкольцо, а так само властивості кільця цілих чисел.
п.1. Поняття кільця.
Визначення. Алгебра, де - бінарні операції, - унарна операція, називається кільцем, якщо виконані аксіоми.
I. - Абелева група.
1)
2)
3)
4)
II. 1) - асоціативність множення.
2) закони дистрибутивності: - лівий дистрибутивний закон, - правий дистрибутивний закон.
- називається адитивною групою кільця.
Визначення. Кільце називається кільцем з одиницею, якщо існує
Визначення. Кільце називається комутативність, якщо
Визначення. Елементи називаються дільниками, якщо
Визначення. Кільце називається областю цілісності, якщо воно має властивості:
Кільце - комутативність.
Кільце з одиницею, де.
Кільце не має дільників нуля.
п.2. Приклади кілець.
Розглянемо. Операції - бінарна операція на множині, операція - унарний операція на множині,, значить - алгебра. Аксіоми кільця на безлічі виконані, це випливає з властивостей цілих чисел, значить - кільце. Це кільце з одиницею 1, так як і . Це коммутативное кільце, так як. Це кільце без дільників нуля. Кільце цілих чисел є областю цілісності.
Нехай - множина цілих парних чисел, - алгебра, кільце без одиниці, коммутативное, без дільників нуля, не є областю цілісності.
- перевіримо, чи буде на безлічі - кільце.
- бінарна операція на множині.
- бінарна операція на множині.
- унарний операція на множині.
Значить - алгебра.
Аксіоми кільця для даної алгебри виконані, так як, а на аксіоми виконані (з властивостей дійсних чисел), значить - це кільце.
. . Кільце з одиницею - це коммутативное кільце без дільників нуля, є областю цілісності.
Нехай. Визначимо операції,;,.
- бінарні операції на безлічі
значить - унарний операція на множині.
,, значить - алгебра. Перевіримо, чи є ця алгебра кільцем. Для цього перевіримо аксіоми кільця. Рівність - рівність функції: з визначення операцій. Розглянемо твір, обчислимо значення лівої та правої частин від а) б). Аналогічно перевіряється, що всі аксіоми кільця виконані, значить є кільцем. Це кільце з одиницею. Дійсно, (властивість одиниці). Це коммутативное кільце, так як. Покажемо, що це кільце з дільниками нуля. Нехай,,, (нульова функція). Обчислимо (одно нульовий функції). Значить, - дільники нуля, значить кільце - не є областю цілісності.
п.3. Найпростіші властивості кільця.
Нехай - кільце. Випишемо і перевіримо аксіоми кільця:
.
Доказ. - Абелева група, маємо
.
Доказ. - Абелева група, маємо.
, якщо, якщо.
Доказ. За законом скорочення в групі, визначеної на множині.
, якщо, якщо.
Доказ. Слід з властивості 4 груп.
якщо, якщо.
Доказ. Слід з 5 властивості груп.
.
Доказ. Слід з 6 властивості груп.
.
Доказ. Доведемо, що.
.
Доказ. Доведемо, що розглянемо суму. Аналогічно доводиться, що.
. Позначення:.
(правий дистрибутивний закон), (лівий дистрибутивний закон).
Доказ. Правий дистрибутивний закон: ліва частина дорівнює дорівнює правій частині. Аналогічно доводиться лівий дистрибутивний закон.
.
Доказ. Обчислимо суму.
п.4. Гомоморфізму і ізоморфізми кілець.
Дано два кільця і.
Визначення. Гомоморфизмом кільця в кільці називається функція і володіє властивостями:
Іншими словами, гомоморфізм кілець - це відображення, зберігають всі операції кільця. Якщо - гомоморфізм кільця в, то - гомоморфізм абелевих груп в групу.
Теорема. Нехай і - кільця та, що володіють властивостями:
Тоді - гомоморфізм кілець.
Доказ. З властивості є гомоморфизмом груп і, тому володіє властивостями:,, значить за визначенням - гомоморфізм кілець.
Визначення. Відображення називається ізоморфізмом кільця на, якщо володіє властивостями:
- гомоморфізм кілець.
- Бієкція.
Іншими словами: ізоморфізм - це гомоморфізм, є Бієкція.
п.5. Подкольцо.
Нехай - кільце,,.
Визначення. Безліч - замкнуто щодо операції, якщо.
Безліч - замкнуто щодо операції, якщо. Безліч - замкнуто щодо операції, якщо.
Теорема. Нехай - кільце,,, якщо - замкнуто щодо операції, то - кільце, яке називається подкольцо, кільця.
Доказ. - Бінарні операції, - унарна операція, так як - замкнуте безліч. Так як, то існує , Так як - замкнуто щодо операції, то, значить - алгебра, так як аксіоми виконані на, то вони виконані і на, тому алгебра - кільце.
Теорема. Нехай - числове кільце з одиницею 1, тоді воно містить подкольцо цілих чисел.
п.6. Аксіоматичне визначення кільця цілих чисел.
Алгебраїчна система, де бінарні операції, - унарний операція,,, називається системою цілих чисел, якщо виконані три групи аксіом:
I. - Кільце.
Абелева група
Адитивна група
II. Безліч - замкнуто щодо операцій і алгебраїчна система є системою натуральних чисел (системою Пеано).
Для,
Для,
Для,
Для,
Для,
Для,
Аксіома індукції: нехай. Якщо безліч задовольняє умовам:
а)
б),, то
III. Аксіома мінімальності.
Якщо і має властивості:
а)
б), то.
Властивості цілих чисел.
Теорема 1. Про розподіл із залишком.
|, де. Число називається діленим, - дільником, - приватним, - залишком при діленні на .
Доказ. Доведемо існування хоча б однієї пари чисел, . Для цього розглянемо безліч. Безліч містить як негативні, так і невід'ємні числа, нехай - найменше невід'ємне число в, тоді. Доведемо, що , припустимо протилежне. Розглянемо число. протиріччя з вибором. Доведено, що ,. Доведемо єдиність чисел і, нехай. ,. Доведемо, що, припустимо протилежне. Нехай. Маємо протиріччя, так як між числами немає чисел, що діляться на. Доведено, що , Якщо, то, а звідси випливає, що. Доведена єдиність чисел і.
Список літератури
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вступний курс математики. Навчально-методичний посібник. 2002
В.Є. Маренич. Журнал В«АргументВ». Задачі з теорії груп.
Кострикін А.І. Введення в алгебру. Ч.1 Основи алгебри. - М.: фізмат літ-ра, 2000
Кострикін А.І. Введення в алгебру. Ч.2 Основи алгебри. - М.: фізмат літ-ра, 2000
Кострикін А.І. Введення в алгебру. Ч.3 Основні структури алгебри. - М.: фізмат літ-ра, 2000
Кострикін А.І. Збірник задач з алгебри. Вид. третє - М.: фізмат літ-ра, 2001
Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту referat.ru/
