В.В. Сидоренков, МГТУ ім. Н.Е. Баумана
На основі первинних фундаментальних співвідношень електромагнетизму - закону Кулона взаємодії нерухомих електричних точкових зарядів і закону збереження електричного заряду ланцюжком послідовних фізико-математичних міркувань побудована система диференціальних рівнянь Максвелла класичної електродинаміки.
В курсі загальної фізики при викладі природи електрики [1] концепція електромагнітного поля є центральною, оскільки за допомогою такого поля реалізується один із видів фундаментальної взаємодії рознесених у просторі матеріальних тіл. Фізичні властивості зазначеного поля математично представляються системою функціонально пов'язаних між собою рівнянь в приватних похідних першого порядку, первинна версія яких була отримана в другій половині XIX століття Дж.К. Максвеллом [2] узагальненням емпіричних фактів. У структурі цих рівнянь, що описують поведінку електромагнітного поля в нерухомому середовищі, закладена основна аксіома класичної електродинаміки - нерозривна єдність змінних у часі електричного і магнітного полів. У сучасній формі така система диференціальних рівнянь має наступний вигляд:
(a) , (B),
(c) , (D). (1)
Тут векторні поля: електричної та магнітної напруженості, відповідно, електричної та магнітної індукції, а також щільності електричного струму; та - абсолютні електрична та магнітна проникності, - питома електрична провідність матеріального середовища, - об'ємна щільність стороннього електричного заряду.
Покажемо, як на основі первинних фундаментальних співвідношень електромагнетизму - закону Кулона взаємодії електричних точкових нерухомих зарядів
(2)
і закону збереження електричного заряду [1]
(3)
ланцюжком послідовних фізико-математичних міркувань можна побудувати систему електродинамічних рівнянь Ма
ксвелла (1). Представляється, що логіка таких міркувань дозволить навчаним ясніше і глибше зрозуміти сутність корпускулярно-польового дуалізму природи електрики.
Фундаментальність закону Кулона (2) полягає в тому, що його допомогою описується силове взаємодія рознесених у просторі нерухомих електрично заряджених матеріальних тіл, де для вивчення наслідків такої взаємодії вводять поняття електричного поля у вигляді напруженості - сили Кулона на одиницю заряду:, де - пробний точковий заряд. Топологія структури електричного поля точкового заряду така, що інтеграл від цієї функції по сфері будь-якого радіусу константи:, а при використанні поняття тілесного кута нескладно переконатися: потік вектора поля електричної індукції (зміщення) через довільну замкнуту поверхню S тотожно дорівнює сумарному сторонньому електричному заряду в об'ємі всередині цієї поверхні, причому на самій вказаної поверхні за допомогою інтегрування поля електричної індукції визначається індукований поляризаційний електричний заряд, так що:
.
Такі міркування називають електростатичною теоремою Гаусса. Вона описує результат електричної поляризації. Правда, зазвичай у фізичні подробиці процесу поляризації не вникають, а тому в даній теоремі про заряд в теоремі просто не говорять. Тут треба мати на увазі, що рівність нулю сумарних величин вказаних зарядів, відповідно, електричного потоку:, зовсім не означає відсутність електричного поля в цій області простору, оскільки електричні заряди бувають позитивними і негативними, і зазначене поле може створюватися електронейтральності джерелами, наприклад, електричними диполями. Це властивість електростатичного поля якісно відрізняє його від ньютонівського поля тяжіння, де джерела такого поля - гравитирующих мас мають один знак. В системі електродинамічних диференціальних рівнянь (1) теорема Гаусса представлена ​​(див. теорему Гаусса-Остроградського) співвідношенням (1b), що описує результат електричної поляризації середовища, де в разі електронейтральності () середовища воно має вигляд.
Скористаємося тепер іншим первинним фундаментальним законом електромагнетизму - законом збереження електричного заряду (3), структурно представляє собою рівняння безперервності. Закон говорить: зміна заряду в даній точці простору єдино можливо лише за рахунок транспорту зарядів ззовні, адже за визначенням (теорема Гаусса-Остроградського) дивергенція - це об'ємна щільність потоку векторного поля в даній точці. Тоді підстановка в (3) рівняння (1b) дає формулу. І з урахуванням того, що для будь-якого векторного поля, отримуємо ще одне рівняння обговорюваної тут системи: (1с). Це рівняння зазвичай називають законом повного струму: електричні струми провідності і зміщення породжують вихрове магнітне поле, силові лінії векторів напруженості якого охоплюють лінії цих струмів.
Отже, в області існування рухомих зарядів і змінних у часі електричних полів, тобто в рівнянні (1с) функція є чисто вихровий, а тому для математичного уточнення даної топології магнітного поля введемо співвідношення. Тим самим отримаємо наступне рівняння системи (1) - рівняння (1d). Оскільки дивергенція - об'ємна щільність потоку векторного поля в даній точці, то рівняння здатне описати не тільки вихрові властивості функції, але і її потенційну версію, випадок коли. В цій ситуації співвідношення (1d) математично являє фізичний результат магнітної поляризації матеріального середовища. Коментуючи фізичний зміст такого рівняння, зазвичай говорять, що воно наочно ілюструє відсутність в Природі сторонніх магнітних зарядів, подібних зарядам електричним, при цьому, входячи в суперечність, безпідставно називають теоремою Гауса магнітного поля, хоча в рамках логіки рівнянь Максвелла бази для цієї теореми - магнітного закону Кулона принципово не існує.
Нарешті, приватним диференціюванням за часом рівняння (1d) отримуємо на основі адекватне з урахуванням знака закону електромагнітної індукції Фарадея рівняння (1а), останнім в системі (1). Отже, змінюється в часі поле магнітної індукції породжує в даній точці простору вихрове електричне поле. З огляду на те, що в рівнянні (1a), то функція поля є вихровий, і цю топологію здатне уточнити, згідно вищесказаного про дивергенції, вже отримане нами раніше рівняння (1b) у вигляді. Як бачимо, дівергентние рівняння (1b) і (1d) як математично, так і фізично вельми змістовні.
І це тільки те, що лежить на поверхні. А якщо поглянути глибше, то рівняння і містять відомості про поля електричного і магнітного векторних потенціалів, пов'язаних з електричної - і магнітної - поляризациями. На сьогодні встановлено [3, 4], що векторні потенціали - повноправні фізично значущі поля, і облік цієї обставини дозволяє поглибити і кардинально модернізувати концептуальні основи класичної електродинаміки, де обговорювана тут система рівнянь Максвелла буде лише рядовим приватним наслідком.
Однак повернемося до рівнянь системи (1). Переконаємося, що дана система замкнута і може бути представлена ​​у вигляді математичної задачі Коші - рішення рівнянь з заданими початковими умовами. Для цього, насамперед, треба показати, що рівняння (1d) є наслідком рівняння (1а), а рівняння (1b) є наслідок рівняння (1c). Взагалі кажучи, все це вже встановлено в наших міркуваннях при побудові рівнянь системи (1), і все ж проробимо зворотне в явному вигляді. Отже, візьмемо дивергенцію від (1а):
.
Оскільки рівняння (1d) задовольняється за будь-яких, то воно вірно і для. Таким чином, рівняння (1d) дійсно є початковою умовою для рівняння (1а). Аналогічна процедура з рівнянням (1c) і порівняння цього результату з рівнянням безперервності (3) дає ланцюжок:
.
А так як рівняння (1b) справедливо при будь-яких, то воно вірно і для. Отже, рівняння (1b) - це початкова умова для рівняння (1c).
В підсумку з урахуванням рівняння безперервності (3) система (1) дійсно замкнута - 16 скалярних рівнянь: (1a), (1c), (3) - 7 та матеріальні співвідношення - 9 для знаходження 16 скалярних функц...
