Питання поля комплексних чисел, описується побудова поля комплексних чисел, наводяться алгебраїчна форма запису комплексних чисел, визначення комплексного числа, дії над комплексними числами.
п.1. Побудова поля комплексних чисел.
Розглянемо безліч. Визначимо на бінарні операції додавання, множення, унарний операції та визначимо елементи.
Для:
;
;
.
Позначимо:.
Теорема 1. Алгебра є полем.
Доказ. Перевіримо, що алгебра є абелева група.
Для
.
Для
.
Для
.
Для
(.
Перевіримо, що операція - асоціативна, тобто
.
Дійсно,
.
Перевіримо лівий закон дистрибутивності, тобто для
.
Дійсно,
,
.
Аналогічно перевіряється справедливість правого закону дистрибутивності.
З вище доведеного випливає, що алгебра є кільце.
Перевіримо, що кільце коммутативно, тобто для.
Дійсно,
.
Перевіримо, що - кільце з одиницею 1, тобто
.
Дійсно,
.
Так як, то.
Доведемо, що кожен ненульовий елемент кільця звернемо. Нехай, що рівносильно. Розглянемо пару і перевіримо, що ця пара є зворотною до пари. Дійсно,
.
З вище доведеного випливає, що алгебра - поле.
Визначення. Поле називається полем комплексних чисел, а його елементи - комплексними числами
.
п.2. Алгебраїчна форма запису комплексних чисел.
Позначення. Безліч комплексних чисел прийнято позначати, тобто. Прийнято також наступні позначення:
для.
Теорема 2. Кожне комплексне число може бути, і притому єдиним чином, записано у вигляді:
, де. (Такий запис називається алгебраїчної формою запису комплексного числа).
Доказ. Існують такі, що. Маємо
.
Теорема 3. Число має властивість:.
Доказ. .
З рівності випливає, що.
Визначення. Нехай, де. Число називається дійсною частиною, - Уявної частиною комплексного числа. Пишемо.
Нехай - алгебраїчна форма запису комплексного числа. Тоді:
якщо, то;
якщо, то.
Визначення. Якщо, то комплексне число називають чисто уявним числом.
Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі
1) Для
.
Іншими словами: комплексне число дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли у нього дійсна і уявна частини дорівнюють нулю.
Доказ. .
2) Для
.
Іншими словами: два комплексних числа рівні тоді і тільки тоді, коли у них, відповідно, дорівнюють дійсна і уявна частини.
Доказ. .
3) Для
.
Іншими словами: щоб скласти два комплексних числа, потрібно, відповідно, скласти їх дійсні та уявні частини.
Доказ.
.
4) Для
.
Доказ.
.
5) Для
.
Доказ. .
6) Для, якщо, то
.
Доказ.
.
п.3. Операція сполучення.
Визначення. Нехай комплексне число записано в алгебраїчній формі. Числом зв'язаних з називається число.
Властивості операції сполучення
Для, де,,.
1).
Доказ.
.
2).
Доказ. .
3).
Доказ.
.
.
4) Якщо a В№ 0, то.
Доказ. .
5).
Доказ. .
6).
Доказ. .
За допомогою операції сполучення зручно робити поділ комплексних чисел. Щоб записати в алгебраїчній формі дріб з комплексними чисельником і знаменником потрібно помножити чисельник і знаменник дробу на число, поєднане зі знаменником, і обчислити твори в чисельнику і знаменнику.
п.4. Модуль комплексного числа.
Нехай записано в алгебраїчної формі.
Визначення. Модулем комплексного числа називається ненегативне дійсне число.
Властивості модуля.
Для, де,,.
1).
Доказ.
.
2).
3).
Доказ. Властивість випливає з властивості 6 операції сполучення.
4).
Доказ. .
Звідси випливає потрібне твердження.
5) Якщо, то.
Доказ. .
6) Нерівність трикутника:.
Доказ. Доведемо спочатку нерівність
.
Маємо
(2),
так як
.
З (2) випливає, що
.
З останнього нерівності слід нерівність (1).
Доведемо тепер нерівність трикутника. Нерівність трикутника, очевидно, виконано для. Доведемо нерівність трикутника для. Маємо
.
7).
Доказ. . Звідси випливає потрібне нерівність.
8).
Доказ. Справедливі нерівності
,.
Одне з підкреслених чисел збігається з.
п.5. Геометрична інтерпретація комплексних чисел.
Нехай записано в алгебраїчної формі. Поставимо в відповідність числу точку площини з координатами. Це відповідність є Бієкція безлічі комплексних чисел на безліч точок площині. Проілюструємо це відповідність Рис.1. Надалі ми будемо вважати, що точками площини є комплексні числа і будемо називати цю площину комплексної площиною.
Числа і розташовані симетрично відносно осі абсцис. Дійсні числа розташовані на осі абсцис, тому вісь абсцис - вісь дійсних чисел. На осі ординат розташовані числа, у яких дійсна частина дорівнює нулю. Іноді вісь ординат називають віссю уявних чисел.
Геометричний зміст модуля
З Рис.1 видно, що відстань від початку координат до числа одно . Тому геометричний зміст - відстань від до початку координат.
y
bi a
i
-1 + i 1 + i
- 1 0 1 a
x
- 1-i 1-i
- i
Рис.1.
- bi `a
Приклад. Зобразимо на комплексній площині, на Рис.2, множини, задані, відповідно, наступними умовами:;;.
y | z | = 1 y | z | ВЈ 1 y | z | Ві 1
i i i
- 1 1 - 1 1 - 1 1
0 0 0
- i - i - i
Рис.2.
Нехай записано в алгебраїчної формі. Маємо
.
З Рис.3 видно, що геометричний зміст модуля різниці комплексних чисел - відстань між цими числами.
y
b a
d | b-d |
b | a-c |
Рис.3.
0 c a x
Приклад. Зобразимо на комплексній площині, на Рис.4, множини, задані, відповідно, наступними умовами:;.
y y
| z-1 | = 2 0
x
- i
- 1 0 1 3 x | z + i |> 1
- 2i
Рис.4.
Геометрична інтерпретація комплексних чисел векторами площині
Поставимо у відповідність числу пов'язаний вектор площини з початком на початку координат і з кінцем в точці. Встановлене відповідність є Бієкція між безліччю комплексних чисел і множиною связаних векторів площини з початком на початку координат. Проілюструємо цей зв'язок на Рис.5.
y
a + b
b
a
0 Рис.5
x
Геометричний зміст модуля комплексного числа, при інтерпретації чисел векторами, - довжина вектора. Сума комплексних чисел знаходиться як сума векторів.
п.6. Тригонометрична форма запису комплексного числа.
Визначення. Аргументом комплексного числа називається число, рівне величині кута між позитивним напрямом осі абсцис і вектором, визначається з точність до кутів, кратних. Головним значенням аргументу комплексного числа називається те значення, яке належить проміжку...
