Розглядається визначення поля, приклади і найпростіші властивості полів, визначення підполя, простого поля та поля раціональних чисел.
п.1. Визначення поля.
Визначення. Нехай - кільце з одиницею 1. Елемент з безлічі називається зворотним в кільці, якщо. називається зворотним до.
Приклади.
Розглянемо кільце цілих чисел, тобто кільце, елемент 2 незворотній в цьому кільці, так як, елемент 5 незворотній в кільці цілих чисел. - Оборотні елементи в кільці цілих чисел
Розглянемо кільце раціональних чисел, оборотними є всі елементи крім.
Розглянемо кільце дійсних чисел, тобто кільце , оборотними є всі елементи крім.
Визначення. Поле - це кільце, якщо:
- коммутативное кільце (операція комутативна)
- кільце з одиницею 1, одиниця.
Всякий ненульовий елемент кільця звернемо.
Приклади полів.
- поле раціональних чисел.
- поле дійсних чисел.
Це поля з нескінченним числом елементів. Розглянемо поле з кінцевим числом елементів.
Поле Галуа - галуафілд. ;. Визначимо
операції додавання і множення:
І - бінарні операції, - унарна
З цієї таблиці видно, що операція - коммутативна,-бінарні операції, - унарний операція, тому ,.
п.2. Найпростіші властивості поля.
Нехай - поле. Позначення:.
Якщо, то.
Доказ. Нехай, доведемо, що, тобто, тоді суперечність з аксіомою поля. Якщо, то по аксіомі полів |,.
Якщо,. помножимо рівність праворуч на, тобто.
.
Доказ. Якщо, то, множачи обидві частини рівності на зліва,.
У полі немає дільників 0.
Доказ. Слід з властивості 3, застосовуючи закони контрапозиции:,, значить немає дільників нуля.
Кожне поле є областю цілісності.
Доказ. Випливає з визначення поля та області цілісності.
.
Доказ. . Помножимо обидві частини рівності праворуч на, де.
, де.
Доказ. Випишемо праву частину дорівнює лівій частині.
, де.
Доказ. Права частина дорівнює лівій частині.
,.
Доказ. Права частина ліва частина.
,.
Доказ. Ліва частина.
,.
Якщо, то.
Доказ. Обчислимо добуток тобто зворотний елемент до.
, де.
Доказ. Ліва частина дорівнює дорівнює правій частині.
- комутативна група, яка називається мультиплікативною групою не рівних 0 елементів.
Доказ. Слід з властивостей поля:
1. , Так як поле.
2.
3.
4. , Так як поле
Так як поле - це кільце певного виду, то під гомоморфізм полів розуміються гомоморфізм полів. Аналогічно для Ізоморфізм.
п.3. Підполе.
Визначення. Підполем поля називається подкольцо з одиницею поля, в якому всякий ненульовий елемент звернімо. Усяке підполі є полем. Підполе поля, відмінне від називається власним полем.
Визначення. Поле називається простим, якщо воно не має власних підполів.
Приклад. Розглянемо полі дійсних чисел, тобто поле. Для того, щоб знайти підполі треба знайти підмножини замкнуті щодо операції та підмножині. Наприклад, поле раціональних чисел є підполем поля дійсних чисел.
п.4. Поле раціональних чисел.
Алгебраїчна система називається системою раціональних чисел, якщо:
Алгебра - це поле з одиницею 1.
Безліч замкнуто щодо операції і
Аксіома мінімальності, якщо таке, що:
а)
б), тоді.
Список літератури
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вступний курс математики. Навчально-методичний посібник. 2002
В.Є. Маренич. Журнал В«АргументВ». Задачі з теорії груп.
Кострикін А.І. Введення в алгебру. Ч.1 Основи алгебри. - М.: фізмат літ-ра, 2000
Кострикін А.І. Введення в алгебру. Ч.2 Основи алгебри. - М.: фізмат літ-ра, 2000
Кострикін А.І. Введення в алгебру. Ч.3 Основні структури алгебри. - М.: фізмат літ-ра, 2000
Кострикін А.І. Збірник задач з алгебри. Вид. третє - М.: фізмат літ-ра, 2001
Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту referat.ru/
