Реферат
з дисципліни: "Математика"
на тему:
В«Визначники матриці і системи лінійних алгебраїчних рівняньВ»
Основні визначення
Визначення. Матрицею розміру m'n, де m-число рядків, n-число стовпців, називається таблиця чисел, розташованих у певному порядку. Ці числа називаються елементами матриці. Місце кожного елемента однозначно визначається номером рядка і стовпця, на перетині яких він знаходиться. Елементи матриці позначаються a ij , де i-номер рядка, а j-номер стовпця.
А =
Основні дії над матрицями
Матриця може складатися як з одного рядка, так і з одного стовпця. Взагалі кажучи, матриця може складатися навіть з одного елементу.
Визначення. Якщо число стовпців матриці дорівнює числу рядків (m = n), то матриця називається квадратною.
Визначення. Матриця виду:
= E,
називається одиничною матрицею.
Визначення. Якщо a mn = a nm , то матриця називається симетричною.
Приклад. - симетрична матриця
Визначення. Квадратна матриця виду називається діагональною матрицею.
Додавання і віднімання матриць зводиться до відповідних операціях над їх елементами. Самим головним властивістю цих операцій є те, що вони визначені тільки для матриць однакового розміру. Таким чином, можливо визначити операції додавання і віднімання матриць:
Визначення. Сумою (Різницею) матриць є матриця, елементами якої є відповідно сума (різниця) елементів вихідних матриць.
c ij = a ij В± b ij
С = А + В = В + А.
Операція множення (ділення) матриці будь-якого розміру на довільн
е число зводиться до множення (Поділу) кожного елемента матриці на це число.
a (А + В) = a В± AВ
А (a В± b) = a В± bА
матриця алгебраїчний лінійний рівняння
Приклад. Дано матриці А =; B =, знайти 2А + В.
2А =, 2А + В =.
Операція множення матриць
Визначення: Твором матриць називається матриця, елементи якої можуть бути обчислені за наступними формулами:
A Г— B = C;
.
З наведеного визначення видно, що операція множення матриць визначена тільки для матриць, число стовпців першої з яких дорівнює числу рядків другої.
Властивості операції множення матриць
1) Множення матриць не коммутативно, тобто АВ В№ ВА навіть якщо визначені обидва твори. Однак, якщо для будь - яких матриць співвідношення АВ = ВА виконується, то такі матриці називаються перестановочне.
Найхарактернішим прикладом може служити одинична матриця, яка є перестановною з будь-якої іншої матрицею того ж розміру.
перестановочне можуть бути тільки квадратні матриці одного і того ж порядку.
А Г— Е = Е Г— А = А
Очевидно, що для будь-яких матриць виконуються наступне властивість:
A Г— O = O; O Г— A = O,
де О - нульова матриця.
2) Операція перемножування матриць асоціативна, тобто якщо визначені твори АВ і (АВ) С, то визначені НД і А (НД), і виконується рівність:
(АВ) С = А (ВС).
3) Операція множення матриць дистрибутивного по відношенню до додавання, тобто якщо мають сенс вираження А (В + С) та (А + В) С, то відповідно:
А (В + С) = АВ + АС
(А + В) С = АС + НД
4) Якщо твір АВ визначено, то для будь-якого числа a вірно співвідношення:
a (AB) = (AA) B = A (aB).
5) Якщо визначено твір АВ, то визначено твір У Т А Т і виконується рівність:
(АВ) Т = У Т А Т , де
індексом Т позначається транспонована матриця.
6) Зауважимо також, що для будь-яких квадратних матриць det (AB) = detA Г— detB.
Поняття det (Визначник, детермінант) буде розглянуто нижче.
Визначення. Матрицю В називають транспонованої матрицею А, а перехід від А до В транспонування, якщо елементи кожного рядка матриці А записати в тому ж порядку в стовпці матриці В.
А =; В = А Т =;
іншими словами, b ji = a ij .
В якості слідства з попереднього властивості (5) можна записати, що:
(ABC) T = C T B T A T ,
за умови, що визначено добуток матриць АВС.
Приклад. Дано матриці А =, В =, С = і число a = 2. Знайти А Т В + AС.
A T =; A T B = Г— ==;
aC =; А Т В + AС = + =.
Приклад. Знайти твір матриць А = і В =.
АВ = Г— =.
ВА = Г— = 2 Г— 1 + 4 Г— 4 + 1 Г— 3 = 2 + 16 + 3 = 21.
Приклад. Знайти твір матриць А =, В =
АВ = Г— ==.
Визначники. (Детермінанти)
Визначення. Визначником квадратної матриці А = називається число, яке може бути обчислено за елементами матриці за формулою:
det A =, де
М 1к - Детермінант матриці, отриманої з вихідної викреслюванням першого рядка і k - го стовпця. Слід звернути увагу на те, що визначники мають тільки квадратні матриці, тобто матриці, у яких число рядків дорівнює числу стовпців.
Попередня формула дозволяє обчислити визначник матриці по першому рядку, також справедлива формула обчислення визначника по першому стовпцю:
det A =
Взагалі кажучи, визначник може обчислюватися по будь-якому рядку або стовпцю матриці, тобто справедлива формула:
detA =, i = 1,2, ..., n.
Очевидно, що різні матриці можуть мати однакові визначники.
Визначник одиничної матриці дорівнює 1.
Для зазначеної матриці А число М 1к називається додатковим мінором елемента матриці a 1k . Таким чином, можна зробити висновок, що кожен елемент матриці має свій додатковий мінор. Додаткові мінори існують тільки в квадратних матрицях.
Визначення. Додатковий мінор довільного елемента квадратної матриці a ij дорівнює определителю матриці, отриманої з вихідної викреслюванням i-го рядка і j-го стовпця.
Свойство1. Важливою властивістю визначників є наступне співвідношення:
det A = det A T ;
Властивість 2. det (AB) = detA Г— detB
Властивість 3. Якщо в квадратної матриці поміняти місцями якісь два рядки (чи шпальти), то визначник матриці змінить знак, не змінившись за абсолютною величиною.
Властивість 4. При множенні стовпця (або рядка) матриці на число її визначник множиться на це число.
Визначення: Стовпці (Рядки) матриці називаються лінійно залежними, якщо існує їх лінійна комбінація, рівна нулю, що має нетривіальні (не рівні нулю) рішення.
Властивість 6. Якщо в матриці А рядки або стовпці лінійно залежні, то її визначник дорівнює нулю.
Властивість 7. Якщо матриця містить нульовий стовпець або нульову рядок, то її визначник дорівнює нулю. (Дане твердження очевидно, тому вважати визначник можна саме за нульовою рядку чи стовпцю.)
Властивість 8. Визначник матриці не зміниться, якщо до елементів однієї з його рядків (стовпця) додати (відняти) елементи іншого рядка (стовпця), помножені на яке-небудь число, не рівне нулю.
Властивість 9. Якщо для елементів якої-небудь рядка або стовпця матриці вірно співвідношення: d = D 1 В± d 2 , e = e 1 В± e 2 , f = f 1 В± f 2 , то вірно:
Приклад. Обчислити визначник матриці А =
= -5 + 18 + 6 = 19.
Приклад:. Дано матриці А =, В =. Знайти det (AB).
1-й спосіб: det A = 4 - 6 = -2; det B = 15 - 2 = 13; det (AB) = det A Г— det B = -26.
2 - й спосіб: AB =, Det (AB) = 7 Г— 18 - 8 Г— 19 = 126 - 152 = -26.
Елементарні перетворення матриці
Визначення. Елементарними пер...
