Зміст
Введення.
В§ 1. Система комплексних чисел
В§ 2. Властивості комплексних чисел
В§ 3. Полем комплексних чисел.
В§ 4. Категоричність аксіоматичної теорії комплексних чисел.
В§ 5. Несуперечність аксіоматичної теорії комплексних чисел
В§ 6. Моделі комплексних чисел.
Приклади.
Висновок
Список використаної літератури
Введення
З курсу математики відомо, що негативні числа введені насамперед для того, щоб операція віднімання, обернена до операції додавання, була завжди можлива. З аналогічної причини в математиці з'явилися комплексні числа. Якщо розглядати тільки дійсні числа, то операція добування квадратного кореня, обернена до операції зведення в квадрат, не завжди можлива, так як не можна витягти квадратний корінь з негативного числа. Цього, однак, недостатньо, щоб заводити в математиці нові числа. Виявилося, що якщо виробляти обчислення за звичайними правилами над виразами, в яких зустрічається корінь квадратний з від'ємного числа, то можна прийти до результату, вже не містить корінь квадратний з негативного числа. У XVI столітті Кардано знайшов формулу для розв'язання кубічного рівняння. Виявилося, що саме в тому випадку, коли кубічне рівняння має три дійсних кореня, у формулі Кардано зустрічається корінь квадратний з негативного числа. Виявилося таким чином, що виробляючи обчислення з виразами, що містять корінь квадратний з від'ємного числа, можна отримати цілком зрозумілі результати. Тому ці корені стали вживати в математиці. Назвали їх уявними числами - тим самим вони як би придбали право на нелегальне існування. Повні цивільні права уявним числам на межі XVIII-XIX століть дав Гаус, який назвав їх комплексними числами, дав їм геометричну інтерпретацію і, що найголовніше, довів основну теорему алгебри, яка стверджує, що кожен многочлен має хоча б один дійсний або комплексний корінь. Комплексним числом називається всяка впорядкована пара дійсних чисел. Два комплексних числа і дорівнюють тоді і тільки тоді, коли. Розглянемо комплексні числа більш докладно. І знайдемо моделі комплексних чисел.
В§ 1. Система комплексних чисел
У полі дійсних чисел не завжди здійсненна операція витягання кореня: не існує корінь четной ступеня з негативного числа. Звідси виникає завдання подальшого розширення поля дійсних чисел з метою отримання такої безлічі чисел, в якому рівняння мало б рішення. Таке мінімальна вимога задачі розширення поля дійсних чисел виправдовується тим, що при її здійсненні стають вирішуваними будь рівняння виду
.
Полем комплексних чисел називається мінімальне поле С, містить поле R дійсних чисел, тобто безліч С, що володіє властивостями:
1) З містить поле дійсних чисел, тобто в С міститься така підмножина R ', що;
2) C - поле;
3) в З вирішуваний рівняння (цільове вимога);
4) З - Мінімальне поле, тобто не містить ніякого підполя, відмінного від нього самого і володіє властивостями 1 - 3.
Елементи поля С - комплексні числа.
Під системою комплексних чисел розуміють мінімальне поле, яке є розширенням поля дійсних чисел і в якому є елемент i з умовою i + 1 = 0. В якості первинних приймають такі терміни:
а) С - безліч, його елементи називаються комплексними числами;
б) +, •-складання і множення - бінарні операції на С;
в) 0, 1 і i - елементи С;
г) R - підмножина С, його елементи називаються дійсними числами;
д) Г… і 8 - Складання і множення - бінарні операції на R.
Для побудови системи комплексних чисел скористаємося вихідним елементом - парою (a, b) дійсних чисел. У процесі побудови будуть визначені різні операції для таких пар.
Аксіоми поділяються на чотири групи і можуть бути сформульовані так:
А
СI.
СII.
СIII.
CIV.
CV.;
CVI.;
CVII.
СVIII.;
CIX.;
СХ.
СХI ..
Б
СХII. - Поле дійсних чисел;
CХIII. R ГЊC;
CХIV.
CХV ..
В
CXVI. .
Г
CXVII. (Аксіома мінімальності). Будь-яка підмножина М безлічі С збігається з С, якщо воно задовольняє наступним чотирьом умовам:
а)
б)
в)
г) .
В§ 2. Властивості комплексних чисел
Ми припускаємо, що - система комплексних чисел. Таким чином, для цієї системи виконані всі названі в попередньому розділі аксіоми.
Теорема 2.1. Усяке комплексне число можна представити і тільки одним способом у вигляді.
Доказ. Припустимо спочатку, що для деяких дійсних чисел a, b, a1, b1. Оскільки - поле, то. Якщо, то .
А це не може бути в силу теореми про те, що в лінійно упорядкованій кільці квадрат будь-якого не рівного нулю елемента позитивний. Можливість подання легко випливає з аксіоми мінімальності.
Визначення 2.1. Сумою комплексних чисел (a, bi) і (c, di) називається комплексне число.
Суму позначають знаком В«ПлюсВ». Тому визначення можна записати так:.
Так як складання комплексних чисел зводиться до додавання дійсних чисел, то додавання комплексних чисел завжди здійснимо і однозначно.
Теорема 2.2. Додавання комплексних чисел коммутативно і асоціативно.
Доказ. Проведемо для асоціативного закону. Обчислимо. З іншого боку,. Отже, .
Комплексне число є нулем, бо для будь-якого комплексного числа справедливо.
Звичайним чином, як, наприклад, для раціональних чисел, доводиться єдиність нуля.
Для всякого комплексного числа (a, b) існує протилежна йому комплексне число, що позначається. Перевіримо, що. У самому справі,. Єдиність протилежної число доводиться звичайним чином.
Теорема 2.3. Віднімання комплексних чисел завжди здійснимо і однозначно.
Доказ. Перевіримо, що. Для цього обчислимо суму.
Отже,. Останнє рівність задовольняє визначенню різниці, отже,. Отже, віднімання здійснимо.
Доведемо єдиність різниці. Нехай є різниця виду. Це означає, що. Додамо до обом частинам. Отримаємо. Цим доведена однозначність віднімання.
Визначення 2.2. Твором комплексних чисел і називається комплексне число.
Множення позначаємо точкою, і визначення тоді запишемо так:.
Так як множення комплексних чисел зводиться до арифметичних дій з дійсними числами, то множення завжди здійснимо і однозначно.
Теорема 2.4. Множення комплексних чисел коммутативно, асоціативно і дистрибутивно щодо додавання, тобто:
1)
2)
3)
Доказ. Перевіримо тільки дистрибутивний закон. Обчислимо ліву частину. Обчислимо праву частину.
Як бачимо ліва і права частини виявилися рівними одного й того ж комплексному числу. Отже, вони рівні, тобто:.
Комплексне число є одиницею, бо для будь-якого комплексного числа справедливо.
Единственность одиниці перевіряється звичайним чином. Нехай є одиниця. Тоді, бо - одиниця. Але - теж одиниця, тому. З однозначності множення випливає, що.
Теорема 2.5. Для всякого комплексного числа існує зворотне йому число, що позначається, тобто таке, що їх добуток дорівнює одиниці.
Доказ. Дано число, де або, тобто . Знайдемо таке число, щоб, звідки. З визначення рівності комплексних чисел випливає
Визначник системи, отже, система має рішення, притому єдине:,. Таким чином, .
Слідство. Ділення комплексних чисел завжди здійснимо (виключаючи розподіл на нуль) і однозначно.
Перевіримо, що є. Обчислимо:.
Отже,. Останнє рівність задовольняє визначенню приватного, отже,. Отже, поділ здійснимо.
Доведемо єдиність приватного. Нехай. Це означає, що. Помноживши обидві частини на, отримаємо. Цим доведена однозначність ділення.
На підставі викладеного можна зробити висновок...
