Міністерство освіти і науки Російської Федерації
Державна освітня установа вищої професійної освіти
Бійський Державний Педагогічний Університет імені В.М. Шукшина
Фізико-математичний факультет
Кафедра математики
Курсова робота
Рівняння Дірака в квантової теорії
Виконав: студент 4курса ФМФ
Губін О.О.
Науковий керівник:
Царегородцев Л.І.
Бійськ, 2011
Зміст
Введення
1. Рівняння Дірака
2. Матриця Дірака. Властивості матриць Дірака
3. Спінор
4. Загальне рішення рівняння Дірака
Висновок
Список літератури
Введення
Курсова робота складається з вступу, чотирьох параграфів, висновку і списку з літературою.
У першому параграфі розкривається поняття про рівняння Дірака і вводиться позначення матриць Дірака, записується вид рівняння Дірака. У другому параграфі розглядаються основні властивості матриць Дірака. У третьому - визначається поняття про Спінор. А в четвертому параграфі виводиться рішення рівняння Дірака у вигляді плоских хвиль.
Коротко зупинимося на релятивістських позначеннях, які будуть нами використовуватися.
Просторово-часові координати будуть позначатися, причому ,, І;. Ми будемо використовувати метричний тензор з компонентами
при
рівняння Дірак матриця Спінор
У зв'язку з цим потрібно розрізняти коваріантного і контраваріантние вектори. Контраваріантний вектор (Що перетворюється як координатний вектор) буде позначатися, а коваріантний (Що перетворюється
як градієнт) буде позначатися. Аналогічні позначення будуть прийняті і для тензорів. Грецькі індекси будуть застосовуватися для позначення компонент (0, 1, 2, 3) просторово-часового тензора, а латинські індекси - тільки для позначення просторових компонент (1, 2, 3). Операції опускання та піднімання індексів за допомогою метричного тензора визначаються наступним чином:
де передбачається підсумовування від 0 до 3 по повторюваним грецьким індексам, т.е
Тензор визначається рівнянням, де - символ Кронекера:, якщо, і в іншому випадку.
Введемо в розгляд ще кілька понять.
транспонувати до називають тензор, який має в якомусь базисі "перевернуті" компоненти:
транспонувати тензор позначають як.
симетрично називають такий тензор, транспонований до якого збігається з вихідним:
Тензор називають зворотним до, якщо його скалярний твір на дає одиничний тензор. Такий тензор позначають як:
ортогональних називають тензор, зворотний до якого тензор збігається з транспонувати.
1. Рівняння Дірака
На початку XX століття, намагаючись подолати труднощі з негативними плотностями ймовірності в рівнянні Клейна-Гордона, яке виглядає наступним чином:
(1.1)
Дірак відкрив релятивістське рівняння, яке тепер називають в його честь. Довгий час після відкриття рівняння Дірака вважали, що для частинок з масою це єдине правильне релятивістське хвильове рівняння. І тільки після того, як Паулі і Вайскопф дали нову інтерпретацію рівняння Клейна-Гордона як рівняння для поля, це широко поширена думка була спростована. Але навіть і тепер рівняння Дірака має особливе значення, так як воно описує частинки зі спіном, а спін мають електрони і протони (З поняттям "Спінор" познайомимося нижче). Багато інших "елементарні частинки "також мають спіном.
Міркування, які привели Дірака до його рівнянню, наступні. Для того, щоб запобігти появі негативних ймовірностей, потрібно, щоб у виразі для густини
(1.2)
не було похідних по часу. Тому хвильове рівняння повинно містити похідні за часом не вище першого порядку. Але релятивістська коваріантного вимагає повної симетрії по всіх просторовим і тимчасовим координатам. Тому потрібно, щоб у хвильове рівняння входили похідні тільки першого порядку і за просторовим змінним. Таким чином, хвильова функція Дірака повинна задовольняти лінійному диференціальному рівнянню першого порядку по всіх чотирьох координатах. Лінійність рівняння потрібна, щоб задовольнити принципом суперпозиції квантової механіки. Якщо ми хочемо, щоб хвильова функція описувала вільну частинку з масою m, то потрібно вимагати, щоб вона підкорялася рівнянню
(1.3)
Де
оператор Даламбера, так як рівняння означає, що між енергією та імпульсом вільної частинки виконується співвідношення і що в згоді з принципом відповідності є граничний перехід до нагоди класичної теорії відносності.
Аналогічна ситуація зустрічається і електродинаміки, де рівняння Максвелла є рівняннями першого порядку, що зв'язують компоненти напруженостей поля. В той же час кожна компонента електричної та магнітної напруженостей підпорядковується хвильовому рівнянню. Хвильове рівняння в електродинаміці є рівнянням другого порядку, що не містить масового члена, що свідчить про нульовий масі спокою фотона.
Припустимо, що має N компонент, причому ми заздалегідь не фіксуємо значення N. Найбільш загальним лінійним рівнянням першого порядку є рівняння, що виражає тимчасову похідну однієї компоненти у вигляді лінійної комбінації всіх компонент і їх просторових похідних. Якщо підставити відповідні розмірні множники, то найбільш загальне рівняння можна записати у вигляді
(1.4)
На основі припущення про однорідність простору-часу і є безрозмірними константами, не залежними від просторово-часових координат. Природний спосіб спрощення виду цих рівнянь полягає у використанні матричної запису, яка дозволяє представити систему рівнянь (1.4) у вигляді
(1.5)
У цьому рівнянні є матриця-стовпець з N рядками, а й - матриці, які мають по N рядків і стовпців. Рівняння (1.5) і відомо як рівняння Дірака.
Тепер знайдемо виразу для щільності та струму, які відповідають рівнянню (1.5). Так як ми хочемо зберегти для звичне визначення, то вважаємо
(1.6А)
або в матричній запису
(1.6б)
де - величина, ермітових сполучена, а отже, є матрицею-рядком, що містить один рядок і N стовпців. Вирази (1.6) для щільності явно позитивні визначені і, таким чином, відповідають основним вимогам Дірака. Далі вимагатимемо, щоб задовольняла рівнянню нерозривності
(1.7)
де струм j ще має бути визначений. Можна сподіватися, що тоді буде застосовна звичайна імовірнісна інтерпретація. Величина задовольняє рівнянню
(1.8)
яке виходить ермітових сполученням рівнянням (1.5). Як і вище, "" є знаком ермітових сполучення, при якому матриці і транспонирует і комплексно сполучаються, наприклад
(1.9)
Перестановка з в (1.8) необхідна тому, що - рядок, і, отже, і повинні стояти після неї (а не перед нею).
Рівняння нерозривності типу (1.7) можна тепер вивести з рівнянь (1.5) і (1.8), якщо перше помножити на зліва, а друге - на праворуч і скласти отримані результати. Це приводить до рівняння
(1.10)
Останній член не містить похідних. Тому, якщо ми хочемо ототожнити рівняння (1.10) з рівнянням (1.7), потрібно домогтися, щоб цей член був рівний нулю. Це можна досягти, якщо вимагати, щоб
(1.11)
тобто щоб матриця була ермітових. Для ототожнення другої групи членів у рівнянні (1.10) з дивергенцією ми зажадаємо далі, щоб
(1.12)
Іншими словами, і та повинні бути ермітових матрицями. Інший шлях, що веде до того ж результату, - переписати рівняння (1.5) в гамильтоновой формі:
(1.13)
Ясно, що для ермітових H матриці і повинні бути ермітових. Порівнюючи (1.7) з (1.10), укладаємо
(1.14)
Для виведення подальших властивостей матриць і потрібно досліджувати умови, яке накладає вимогу, щоб функція задовольняла рівнянню
(1.3) <...
