Зміст
Ведення
1.Оператор Лапласа
2.Уравненіе Лапласа в двовимірному просторі
3.Уравненіе Лапласа в випадку просторових змінних
4.Решеніе задачі Діріхле в колі методом Фур'є
Висновок
Список літератури
Лаплас рівняння тривимірний простір
Введення
П'єр-Симон Лаплас (23 березня 1749 - 5 березня 1827) - видатний французький математик, фізик і астроном; відомий роботами в області небесної механіки, диференціальних рівнянь, один з творців теорії ймовірностей. Заслуги Лапласа в області чистої та прикладної математики і особливо в астрономії величезні: він удосконалив майже всі відділи цих наук. Був членом Французького Географічного товариства.
При вирішенні прикладних завдань Лаплас розробив методи математичної фізики, широко використовувані і в наш час. Особливо важливі результати відносяться до теорії потенціалу та спеціальних функцій. Його ім'ям названо перетворення Лапласа і рівняння Лапласа. Він далеко просунув лінійну алгебру; зокрема, Лаплас дав розкладання визначника по мінор.
Лаплас розширив і систематизував математичний фундамент теорії ймовірностей, ввів виробляють функції. Перша книга В«Аналітичної теорії ймовірностейВ» присвячена математичним основам; власне теорія ймовірностей починається у другій книзі, в застосуванні до дискретним випадковим величинам. Там же - доказ граничних теорем Муавра-Лапласа та додатки до математичної обробці спостережень, статистикою народонаселення та В«Моральним наукамВ».
Лаплас розвив також теорію помилок і наближень методом найменших квадратів.
1.Оператор Лапласа
Оператор Лапласа - Диференціальний оператор, чинний в лінійному просторі гладких функцій і позначається символом. Функції F він ставить у відповідність функцію
Оператор Лапласа еквівалентний послідовному взяття операцій градієнта і дивергенції.
Градієнт-вектор, показує напрямок найшвидшого зростання деякої величини, значення якої змінюється від однієї точки простору до іншої (скалярного поля). Наприклад, якщо взяти в якості висоту поверхні Землі над рівнем моря, то її градієнт в кожній точці поверхні буде показувати В«напрямок самого крутого підйомуВ». Величина (модуль) вектора градієнта дорівнює швидкості росту в цьому напрямку. Для випадку тривимірного простору, градієнтом називається векторна функція з компонентами, де - деяка скалярна функція координат x, y, z.
Якщо - функція n змінних то її градієнтом називається n-мірний вектор
Компоненти якого дорівнюють приватним похідним по всім її аргументів. Градієнт позначається grad, або з використанням оператора Набла,
З визначення градієнта випливає, що:
Сенс градієнта будь скалярної функції f в тому, що його скалярний добуток з нескінченно малим вектором переміщення дає повний диференціал цієї функції при відповідній зміні координат у просторі, на якому визначена f, тобто лінійну (у разі загального становища вона ж головна) частина зміни f при зсуві на. Застосовуючи одну і ту ж літеру для позначення функції від вектора і відповідної функції від його координат, можна написати:
Варто тут зауважити, що оскільки формула повного диференціала не залежить від виду координат xi, то є від природи параметрів x взагалі, то отриманий диференціал є інваріантом, тобто скаляром, при будь-яких перетвореннях координат, а оскільки dx - це вектор, то градієнт, обчислений звичайним чином, виявляється коваріантного вектором, тобто вектором, представленим у дуальном базисі, який тільки і може дати скаляр при простому підсумовуванні творів координат звичайного (контраваріантного), тобто вектором, записаним в звичайному базисі.
Таким чином, вираз (взагалі кажучи - для довільних криволінійних координат) може бути цілком правильно і інваріантної записано як:
Або опускаючи по правилом Ейнштейна знак суми,
Дивергенція - диференціальний оператор, що відображує векторне поле на скалярний (тобто операція диференціювання, в результаті застосування якої до векторного поля виходить скалярний поле), який визначає (для кожної точки), В«наскільки розходиться входить і виходить із малій околиці цієї точки поле В»(точніше - наскільки розходяться вхідний і вихідний потік).
Якщо врахувати, що потоку можна приписати алгебраїчний знак, то немає необхідності враховувати входить і вихідний потоки окремо, все буде автоматично враховано при підсумовуванні з урахуванням знака. Тому можна дати більш коротке визначення дивергенції:
дивергенція - це диференціальний оператор на векторному полі, що характеризує потік даного поля через поверхню малій околиці кожної внутрішньої точки області визначення поля.
Оператор дивергенції, застосований до поля F, позначають як
або
Визначення дивергенції виглядає так:
де Фf - потік векторного поля F через сферичну поверхню площею S, що обмежує обсяг V. Ще більш загальним, а тому зручним у застосуванні, є визначення, коли форма області з поверхнею S і об'ємом V допускається будь. Єдиною вимогою є її знаходження всередині сфери радіусом, що прагнуть до нуля. Це визначення, на відміну від приводиться нижче, не прив'язане до певних координатах, наприклад, до декартовим, що може представляти додаткову зручність в певних випадках. (Наприклад, якщо вибирати околиця в формі куба або паралелепіпеда, легко виходять формули для декартових координат, наведені в наступному параграфі).
таким чином значення оператора Лапласа в точці може бути витлумачено як щільність джерел (Стоків) потенційного векторного поля gradF в цій точці. У декартовій системі координат оператор Лапласа часто позначається наступним чином тобто у вигляді скалярного добутку оператора Набла на себе.
2.Уравненіе Лапласа в двовимірному просторі
При дослідженні стаціонарних процесів різної фізичної природи (коливання, теплопровідність, дифузія та ін) зазвичай приходять до рівнянь еліптичного типу. Найбільш поширеним рівнянням цього типу є Рівняння Лапласа
де
де u (х, у, z) - Функція незалежних змінних х, у, z. Названо по імені французького вченого П. Лапласа, що застосував його в роботах по тяжінню (1782). До рівняння Лапласа приводять багато завдань фізики і механіки, в яких фізична величина є функцією тільки координат точки. Так, рівняння Лапласа описує потенціал сил тяжіння в області, яка не містить тяжіють мас, потенціал електростатичного поля - в області, яка не містить зарядів, температуру при стаціонарних процесах і т. д. Функції, що є рішеннями рівняння Лапласа, називаються гармонійними. Рівняння Лапласа-окремий випадок Пуассона рівняння. Оператор називається оператором Лапласа.
Функція U називається гармонійної в області T, якщо вона неперервна в цій області разом зі своїми похідними до 2-го порядку і задовольняє рівнянню Лапласа.
При вивченні властивостей гармонійних функцій були розроблені різні математичні методи, що опинилися плідними і в застосуванні до рівнянь гіперболічного (наприклад, рівняння коливань струни) і параболічного типів (наприклад, рівняння теплопровідності). Ми будемо шукати рішення крайових задач для найпростіших областей методом поділу змінних. Рішення крайових задач для рівняння Лапласа може бути знайдено методом розділення змінних у випадку деяких найпростіших областей (коло, прямокутник, куля, циліндр і ін). Розглянемо деякі з них.
Тривимірне рівняння - Лапласа
Тривимірне рівняння Лапласа часто зустрічається в теорії тепло - і масопереносу, гідро та аеромеханіки, теорії пружності, електростатиці і інших областях механіки і фізики. У теорії тепло - І масопереносу воно описує стаціонарний розподіл температури при відсутності джерел тепла в розглянутій області.
...
