Зміст
Введення
Глава 1. Теорема про представлення дзета-функції Дедекинда твором L-рядів Діріхле
Глава 2. Висновок функціонального рівняння дзета-функції Дедекинда
Висновок
Список використаної літератури
Введення
В даній роботі ми розглянемо теорему про подання дзета-функції Дедекинда у вигляді добутку L-функцій і приклад додатка цієї теореми до висновку функціонального рівняння дзета-функції Дедекинда.
Визначимо деякі поняття. Нехай k - кінцеве розширення поля Q , a - Деякий головний ідеал поля k. Розглянемо його розкладання на прості ідеали
де для майже всіх p.
Через N (a) позначимо абсолютну норму ідеалу a, тобто Визначимо дзета-функцію Дедекинда:
Крім того кожному характером зіставимо L-ряд
Глава 1. Теорема про представлення дзета-функції Дедекинда твором L-рядів Діріхле
Доведемо наступну теорему
Теорема. Нехай K - кінцеве абелевих розширення поля k; тоді
де твір праворуч поширюється на всі примітивні характери, узгоджені з характерами групи класів де S - виняткове безліч в k, - група всіх ідеалів поля k, взаємно простих з S, - підгрупа кінцевого індексу, утворена тими елементами з , які містять норми щодо k ідеалів з K, взаємно простих з S, - підгрупа в підгрупі головних ідеалів в , що складається з таких головних ідеалів , для яких і
Доказ проводиться в термінах локальних множників, причому ми розглянемо окремо нерозгалужений і розгалужений випадки.
1. Нехай p - нерозгалужений простий ідеал з k, тобто
>
де - різні прості ідеали в K. Згідно теорії полів класів,
де
Тому відповідний локальний множник зліва дорівнює
в той час як відповідний локальний множник праворуч дорівнює
Зважаючи на те, що f - найменше позитивне число таке, що для всіх, має місце наступне легко перевіряється тотожність
звідси, якщо покласти, слід потрібне рівність.
2. Доказ для розгалужених простих ідеалів складніше і використовує функціональні рівняння, яким задовольняють різні L-функції. Почнемо з рівності
і доведемо, що функціятождественно дорівнює одиниці. дорівнює добутку кінцевого числа виразів виду
відповідних розгалуженим ідеалам p.
теорема дзета функція Дедекинда
Якщо це твір непостійно, воно має полюс чи нуль у деякої чисто уявної точці, де. В силу функціонального рівняння являє собою відношення гамма-функцій і, отже, має тільки речові нулі та полюси. Тому, також є полюсом або нулем функції g. Ми знаємо, однак, що НЕ є нулем або полюсом ні для L-рядів, ні для функцій . Отже, g постійна, а саме дорівнює 1.
Глава 2. Висновок функціонального рівняння дзета-функції Дедекинда
Нехай k = Q , K = Q ( ), де - первісний корінь з 1 ступеня m, . Тоді
(1)
де - дзета-функція Рімана, - L-функція Дирихле, твір праворуч поширюється на всі неголовні раціональні характери по модулю m.
Виведемо функціональне рівняння
Скористаємося функціональним рівнянням для:
,
де сума Гаусса. Скористаємося (1), отримаємо
,
,
використовуючи властивість сум Гаусса, одержимо
,
.
Нехай для будь-якого речового характеру, тоді
,
.
Відомо, що для кожного комплексного характеру існує зв'язаний, тоді отримаємо
,
,
,
.
Використовуючи функціональне рівняння для дзета-функції Рімана:
отримаємо
де D - дискримінант поля K.
Таким чином ми отримали функціональне рівняння для дзета-функції Дедекинда у випадку, коли k = Q , K = Q ( ).
Висновок
В даній роботі ми довели теорему про подання дзета-функції Дедекинда у вигляді добутку L-функцій і за допомогою цієї теореми вивели функціональне рівняння дзета-функції Дедекинда у разі k = Q , K = Q ( ), де - первісний корінь з 1 ступеня m.
Список використаної літератури
1. Касселс Дж., Фреліх А. Алгебраїчна теорія чисел. - М., "Світ", 1969, с.328 - 330
