Випускна кваліфікаційна робота
Вибрані теореми геометрії тетраедра
Спеціальність/напрям підготовки Математика
Спеціалізація/профіль Математика - Інформатика
Зміст
Введення
Глава I. Види тетраедрів і теореми про тетраедрах
1.1 Теореми про тетраедрах
В§ 1. Теорема Менелая
В§ 2. Теорема Чеви
В§ 3. Властивості медіан і бімедіан тетраедра
1.2 Різні види тетраедрів.
В§ 1. Піфагороі тетраєдри
В§ 2. Ортоцентрического тетраєдри
В§ 3. Каркасні тетраєдри
В§ 4. Равногранние тетраєдри
В§ 5. Інцентріческіе тетраєдри
В§ 6. Співмірні тетраєдри
В§ 7. Правильні тетраєдри
Глава II. Тетраедр в курсі математики середньої школи
В§ 1. Порівняльна характеристика викладу теми В«тетраедрВ» в шкільних підручниках
В§ 2. Тестування рівня розвитку просторового мислення у учнів середньої школи
Введення
Інтерес до вивчення тетраедра виник у людства з давніх часів і не згасає досі. Це пов'язано не тільки з його красою, але і з великою практичною цінністю.
Тетраедр є одним з основних фігур стереометрії, проте його вивчення в курсі середньої школи недостатньо детально. У деяких підручниках автори уникають самої термінології, воліючи називати фігуру В«трикутною пірамідоюВ» (і розглядають її саме в такому ключі), а про вивчення різних видів тетраедрів часто і говорити не доводиться.
Роль задач про тетраедрах в математичному розвитку школярів важко переоцінити. Вони стимулюють накопичення конкретних геометричних уявлень, сприяють розвитку просторового мислення, що особливо важливо в процесі вивчення стереометрії.
Вивченню тетраедра як школі, так і у вузах присвячено лише невелика кількість занять, тому метою дипломної роботи є вивчення різних видів тетраедрів, а також теорем, пов'язаних з геометрією тетраедра. У відповідності з метою сформульовані наступні завдання:
1. Зібрати відомості про тетраедра з різних джерел і привести їх у систему; розібрати доведення теорем, пов'язаних з тетраедром;
2. Проаналізувати методику викладу матеріалу в різних шкільних підручниках;
3. Розробити курс занять про тетраедра для середньої школи.
У першій чолі моєї дипломної роботи мова піде про різні види тетраедра і деяких теоремах, що стосуються цієї фігури. Друга глава присвячена аналізу навчального матеріалу для середньої школи по заданій темі та розробці курсу занять.
Глава I . Види тетраедрів і теореми про тетраедрах
1.1 Теореми про тетраедрах
В§ 1. Теорема Менелая
Теорема Менелая для трикутника.
Нехай точки А 1 і З 1 лежать на сторонах В C і А < i> C трикутника АВС , точка У 1 на продовженні сторони АС цього трикутника. Для того щоб точки А 1 , В 1 , С 1 лежали на одній прямій необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність = = = 1.
Доказ.
Спочатку доведемо необхідність. Нехай точки А 1 , В 1 , С 1 лежать на прямій l і AA 0 = h 1 , CC 0 = h 3 - перпендикуляри, опущені відповідно з точок А, В, С на пряму l . З подоби трикутників АА 0 З 1 і ВВ 0 З 1 отримуємо
. Аналогічно, розглядаючи інші пари подібних трикутників, отримуємо;. Перемноживши отримані пропорції, приходимо до необхідному рівності.
Тепер доведемо достатність. Нехай точки А 1 , В 1 , С 1 , що лежать на прямих НД, АС, АВ такі, що. Доведемо, що точки А 1 , В 1 , З 1 лежать на одній прямій.
Проведемо пряму А 1 В 1 і доведемо, що точка З 1 їй належить. Припустимо, що це не так. Спочатку зауважимо, пряма А 1 В 1 не паралельна прямій АВ . Нехай Т - точка перетину А 1 В 1 і АВ , тоді
. З умови і рівності (1) випливає, що. Так як точки Т і З 1 лежать поза відрізка АВ , їх збіг випливає з наступної леми.
Лемма 1.
Нехай А і В дві різні точки, тоді для будь-якого k> 0, k в‰ 1 на прямій АВ існують дві точки U і V такі, що, причому одна з цих точок належить відрізку АВ, а інша лежить поза відрізка.
Доказ.
Введемо на прямий АВ координати, прийнявши точку А за початок координат. Нехай для визначеності k> 1, тоді координата шуканої точки U , лежачою всередині відрізка АВ , задовольняє рівнянню, звідки. Точка V знаходиться поза відрізка AB , з рівняння, звідки. Випадок 0 1 відрізняється від розглянутого лише тим, що точку V слід шукати лівіше точки А .
Теорема Менелая допускає цікаве стереометрическое узагальнення.
Теорема Менелая для тетраедра.
Якщо площину Ој перетинає ребра АВ, ВС, CD і DA тетраедра АВСD в точках А 1 , У 1 , С 1 , D 1 , то (2).
Зворотно, якщо для чотирьох точок А 1 , В 1 , С 1 , D 1 , лежачих відповідно на ребрах АВ, ВС, СD, DA тетраедра, виконана рівність (2), то ці чотири точки лежать в одній площині.
Доказ.
Нехай h 1 , h 2 , h 3, h 4 - відстані від точок А, В, С, D відповідно до площині Ој , тоді;;;.
Залишилося перемножити отримані відносини.
Для доказу зворотної теореми побудуємо площину А 1 , В 1 , С 1 . Нехай ця площина перетинає ребро DA в точці Т.
За доказанному, а за умовою, тому (і по лемі) точки Т і D 1 співпадають. Затвердження доведено.
В§ 2. Теорема Чеви
Теорема Чеви для трикутника.
Нехай точки А 1 , У 1 , С 1 лежать відповідно на сторонах НД, АС і ВА трикутника АВС (див. рис). Для того щоб відрізки АА 1 , ВВ 1 , СС 1 перетиналися в одній точці, необхідно і достатньо, щоб виконувалося співвідношення: (3) (відрізки АА 1 , ВВ 1 , СС 1 іноді називають чевіанамі).
Доказ.
Необхідність. Нехай відрізки АА 1 , ВВ 1 , СС 1 перетинаються в точці М всередині трикутника АВС .
Позначимо через S 1 , S 2 , S 3 площі трикутників АМС, СМВ, АМВ , а через h 1 , h 2 - відстані від точок А і В до прямої МС . Тоді аналогічно,. Перемноживши о...
