Інваріантні підпросторі. Власні вектори и власні Значення лінійного оператора
Як мі Вже знаємо один и тієї ж лінійній оператор в різніх базисах задається різнімі Матриця. Вінікає питання: чи не можна знайте такий базис векторного простору, в якому матриця лінійного оператора має найпростішій Вигляд. Таким виглядах буде діагональній Вигляд. До віяснення цього питання ми и пріступаємо.
1. Інваріантні підпросторі.
Нехай U підпростір векторного простору V n , а П† - лінійній оператор, завдань на просторі V n .
Означення. Підпростір U векторного простору V n назівається інваріантнім відносно лінійного оператора П†, ЯКЩО образ П† шкірного вектора Із U належиться цьому підпростору U , тобто
.
Приклади.
1. Розглянемо звичайний трівімірній простір V 3 и нехай П† - поворот Навколо осі OZ. Інваріантнімі підпросторамі будуть, Наприклад, площіна XOY и сама вісь OZ .
2. Розглянемо Знову векторний простір V 3 и лінійній оператор П†, Який полягає в ортогональному проектуванні векторного простору V 3 на площіну XOY . Інваріантнімі підпросторамі будуть: площіна XOY , сама вісь OZ , ВСІ площіні, які проходять через вісь OZ и ВСІ Прямі площіні XOY , які проходять через початок координат.
3. У будь-якому векторному просторі Коженна підпростір інваріантній відносно тотожня и нульового оператора.
4. В будь-якому векторному просторі сам простір и Його підпростір, Який Складається Тільки з нульового вектора, інваріантні відносно будь-якого лінійного оператора.
Доведемо, Що перетин и торба підпросторів, інваріантніх відносно лінійного оператора П†, інваріантні відносно цього оператора П†.
Нехай підпросторі U 1 и U 2 - інваріантні відносно лінійного оператора, и нехай. Тоді І, а значити І,
тобто. Отже, - інваріантній підпростір відносно оператора.
Нехай , Де і. Тоді І,. Отже, - інваріантній підпростір відносно оператора.
особливая роль відіграють одновімірні інваріантні підпросторі.
2. Власні Вектор и власні значення.
Означення . Власним вектором лінійного оператора П† назівається ненульовій вектор, для Якого віконується рівність, де - Деяк число, його призначення та назівається власним значенням лінійного оператора, якому відповідає Власний вектор.
Властивості Власний векторів.
1. ЯКЩО - Власний вектор лінійного оператора з власним значення, то вектор при будь-якому кож є власним вектором з тім самим власним значенням.
2. ЯКЩО,, ..., - власні вектори лінійного оператора, які належать до того самого власного значення, то будь-яка їхлінійна комбінація кож буде власним вектором цього оператора з тім самим власним значенням.
3. Теорема. Власні вектори, які відповідають різнім власним Значення, лінійно незалежні.
доведення. Нехай,, ..., - власні вектори лінійного оператора, які відповідають різнім власним значенням, відповідно, тобто. Доводимо теорему методом математичної індукції за кількістю векторів.
Для теорема справедлива, бо за окреслений, и тоді и Тільки тоді, коли.
Нехай теорема справедлива при, тобто - лінійно незалежні. Пріпустімо, Що
(1)
и доведемо, Що рівність (1) віконується тоді и Тільки тоді, коли всі.
Подіємо на рівність (1) лінійнім оператором:
використан лінійність оператора, одержимо
звідсі
. (2)
Віднімемо від рівності (2) рівність (1), помножені на. Одержимо
. (3)
За припущені індукції вектор лінійно незалежні, тому рівність (3) віконується тоді и Тільки тоді, коли ВСІ коефіцієнті при дорівнюють нулю. Альо за умів (), а тому.
Підставівші ці значення у рівність (1), одержимо, звідсі, бо. Отже, рівність (1) віконується тоді и Тільки тоді , коли ВСІ () одночасно. Тому - лінійно незалежні.
Теорему доведено. Повернемось до питання, Як знайти власні значення І власні вектори лінійного оператора. Для цього нам потрібно розглянуті деякі Додаткові Поняття.
характеристичностью матриця
Нехай дана квадратна матриця
.
Матриця
назівається характеристичною матрицею. Детермінант цієї матріці
назівається характеристичностью многочленом.
Корені цього многочлена назіваються характеристичностью числами.
Теорема. Характерістічні многочленами подібніх матриці однакові.
доведення. Нехай. Тоді
Теорема доведена.
Нехай лінійній оператор в базісі векторного простору задається матрицею
і - Власний вектор оператора , Який відповідає ВЛАСНА Значення, тобто.
Позначімо координати вектора в базісі через.
Тоді з одного боку, а з іншого боці.
Тоді
або в розгорнутому вігляді
(4)
Звідсі одержимо систему лінійніх однорідніх рівнянь
Власний вектор є ненульовім розв'язку системи (4 '). Як відомо, однорідна система n лінійніх рівнянь з n невідомімі має ненульові розв'язки тоді и Тільки тоді, коли її детермінант дорівнює нулю, тобто, коли віконується Умова
Так Як детермінант при транспонуванні НЕ змінюється, то одержимо рівняння відносно невідомого
(5)
Отже, мі довели теорему : кожне власне Значення лінійного оператора, завдання матриці А, є коренем характеристичностью многочлена.
Провівші міркування знизу вгору, одержимо твердження: шкірні корінь характеристичностью многочлена лінійного оператора буде Його власним значенням.
В ході доведення теореми мі здобули схему знаходження Власний значення І ВЛАСНА векторів лінійного оператора.
Приклад. Знайте власні значення І власні вектори лінійного оператора завдання матриці
Схема розв'язування :
1. Складаємо характеристичностью матриці
.
2. Шукаємо характеристичностью многочлен
=
3. Розв'язуємо характеристичностью рівняння
(2 -
Отже, власними значеннями лінійного оператора є числа 1, 2, -1.
4. Для знаходження Власний векторів розв'язуємо систему рівнянь
тобто (5)
а) Шукаємо власні вектори, які відповідають власним значенням підставівші у (5) Замість одиницю:
або в розгорнутому вігляді
Ранг цієї системи дорівнює 2, тому фундаментальна система її розв'язків Складається з одного розв'язку. Знаходимо Його. Зліва залішаємо змінні, а перенесемо в праву Частину и вважаємо її відомою: звідсі Покладемо тоді. Отже, одним Із ВЛАСНА векторів, які відповідають Власний значення є вектор Всі власні вектори, які відповідають цьому значення мают Вигляд, де-будь-яке дійсне число, відмінне від нуля.
Самостійно Знайте власні вектори, які відповідають власним значенням 2 і.
Весь набор характеристичностью коренів оператора (причому Кожній корінь береться з тією кратністю, Якові ВІН має в характеристичностью рівнянні) назівається спектром лінійного оператора.
Сукупність Власний векторів оператора, Якиме відповідає Одне и ті самє власне значення, збігається з сукупністю Всіх ненульовіх розв'язків систем лінійніх однорідніх рівнянь.
Лінійні оператори з пробачимо спектром
Кажуть, Що лінійній оператор у n - вімірному просторі над полем Р має простий спектр, ЯКЩО ВСІ Його n характерістічні корені Різні.
Повернемося до питання: чи існує базис простору, в якому лінійній операто...
