Розглядаються бінарні і n-місцеві операції, види бінарних операцій, вводяться поняття алгебри, подалгебри, алгебраїчної системи, наводяться приклади.
п.1. Бінарні та n-місцеві операції.
Нехай - непорожній безліч, тобто.
Визначення. Бінарної операцією на безлічі називається відображення прямого твори.
Іншими словами: якщо кожної упорядкованим парі елементів множини поставлено у відповідність єдиний елемент з, то говорять, що задана бінарна операція на множині.
Приклад.
Нехай - довільні висловлювання
: - бінарна операція на безлічі висловлювань.
Нехай - довільні множини
: - бінарна операція на безлічі множин.
Нехай
: - бінарна операція на безлічі дійсних чисел.
: - не є бінарною операцією на безлічі, так як.
Якщо - довільна бінарна операція на безлічі і парі ставиться у відповідність елемент (тобто), то замість записи пишуть , Тобто маємо. Елемент називається компози-цією елементів.
Визначення. Нехай. Відображення називається - місцевої операцією на безлічі. Число - ранг опера-ції.
Визначення. Нульместной операцією на безлічі називається виділення (фіксація) якого-небудь елемента множини. Число називається рангом нульместной операції.
Визначення. Одномісні операції називаються унарний опера-ціями. Іншими словами: унарний операція кожному елементу з множини ставить у відповідність елемент з безлічі, тобто унарний операція - це відображення безлічі у безліч.
унарні операції називають оператором.
Приклад.
Нехай - множина натуральних чисел
- унарний операція
- не є унарний операцією
На безлічі висловлювань операція: - унарний операція
На безлічі підмножин універсальної множини операція доповнення - унарний операція.
Визначення. Відображення з безлічі називається частковою - місцевої операцією на безлічі, якщо область визначення відображення не збігається з.
Види бінарних операцій
Нехай - бінарні операції на множині.
Операція - коммутативна на безлічі.
Операція - асоціативна на безлічі.
Операція - дистрибутивний зліва відносно операції.
Операція дистрибутивних праворуч відносно операції.
Приклад.
Операція на безлічі - коммутативна, асоціативна.
Операція на безлічі - коммутативна, асоціативна.
На безлічі множин операції та дистрибутивно щодо один одного.
На безлічі функцій композиція функцій - асоціативна операція, не є комутативною операцією.
п.2. Поняття алгебри.
Визначення. Алгебра, де, - безліч операцій на.
Іншими словами: якщо ми говоримо про алгебри, то вважаємо, що задано безліч і задані операції.
Приклад.
Нехай - множина висловлювань
- алгебра логіки висловлювань.
Нехай - множина натуральних чисел
- алгебра натуральних чисел щодо операцій і.
Визначення. Алгебра називається подалгеброй алгебри, якщо безліч; - обмеження операції.
Визначення. Алгебраїчна система - це впорядкована трійка, де, - безліч операцій на; - Мно-дружність відносин на.
Список літератури
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вступний курс математики. Навчально-методичний посібник. 2002
В.Є. Маренич. Журнал В«АргументВ». Задачі з теорії груп.
Кострикін А.І. Введення в алгебру. Ч.1 Основи алгебри. - М.: фізмат літ-ра, 2000
Кострикін А.І. Введення в алгебру. Ч.2 Основи алгебри. - М.: фізмат літ-ра, 2000
Кострикін А.І. Введення в алгебру. Ч.3 Основні структури алгебри. - М.: фізмат літ-ра, 2000
Кострикін А.І. Збірник задач з алгебри. Вид. третє - М.: фізмат літ-ра, 2001
Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту referat.ru/
