М.І. Векслер, Г.Г. Зегря
Будь межа розділу двох середовищ може вважатися плоскою на досить малій ділянці. Крім того, в межах досить малого ділянки поле векторів,, можна вважати однорідним на кожній із сторін. Складові зазначених векторів Dn, En, Pn, перпендикулярні до межі, називаються нормальними, а,,, паралельні кордоні, - тангенціальними компонентами.
На незарядженої кордоні двох діелектриків нормальні і тангенціальні компоненти перетворюються таким чином:
(36)
Ліве співвідношення виходить з теореми Гауса, застосованої до області в формі дуже тонкого паралелепіпеда, серединній площиною якого є межа розділу діелектриків. Для отримання другого співвідношення залучається теорема про циркуляції
(37)
Контуром служить вузька прямокутна рамка, площина якої перпендикулярна до кордону розділу, що розтинає рамку навпіл. Ліва частина рівності є, а права дорівнює нулю з електростатичного рівняння Максвелла (). Еаметім, що теорема про циркуляцію - це математичний закон, застосовний до будь векторного поля, як і теорема Гаусса.
Задача. Площина xy являє собою межу розділу діелектрик з проникністю Оµ1 (z <0) - повітря (z> 0). Напруженість електричного поля в повітрі складає E2, а вектор складає кут Оё з віссю z і не має y-компоненти. Знайти, в обох середовищах і поверхневий пов'язаний заряд. Обчислити також циркуляцію вектора по прямокутному контуру довжини L, який лежить в площині xz.
Рішення: За умовою,
звідки відразу
За правилам перетворення нормальних і тангенціальних компонент,
Dn1
=
Dn2 = Оµ0E2cosОё
=
З урахуванням загального співвідношення, отримуємо:
En1
=
=
Тепер можна повністю виписати в діелектрику:
поляризованность в повітрі відсутній, а в діелектрику:
=
=
При обчисленні поверхневого пов'язаного заряду потрібна тільки нормальна компонента, а саме:
Обчислення циркуляції вектора дасть
Знак вибирається залежно від напрaвленія обходу контуру. Зауважимо, що якщо б ми вважали циркуляцію, то отримали б нуль. Так як ми знаємо з обох сторін площині xy, (в області z <0) можна записати остаточну відповідь для циркуляції:
Перевірка виконання законів перетворення компонент і на кордоні служить в деяких випадках додатковим "тестом" на коректність того чи іншого рішення.
Задача. Частина площі плоского конденсатора заповнена діелектриком Оµ1, інша частина Оµ2. Знайти, в обох частинах конденсатора при додатку напруги U. Відстань між обкладками d.
Відповідь: всюди; та в 1-й і 2-й частинах, відповідно. Напрямок полів - усюди перпеідікулярно площинах обкладок.
Коментар: межа розділу діелектриків перпендикулярна обкладкам. По обидві сторони цієї кордону поле паралельно кордоні і однаково по величині: нормальна до даної кордоні складова при цьому взагалі відсутній. Таким чином, виконана умова для тангенціальних компонент вектора.
Узагальнення даної задачі: нехай в плоскому конденсаторі з обкладками x1 і x2, проникність змінюється як. Тоді еквіпотенціалямі є площини x = const. Щільність заряду обкладки такого конденсатора залежить від координат; Сумарні ж заряд дорівнює
(38)
Приватний випадок - Оµ змінюється тільки в напрямку, перпендикулярному полю (наприклад, кусочно). Аналогічну ситуацію можна розглянути в сферичному і циліндричному конденсаторах (або).
Задача. У вакуумі на відстані l від плоскої кордону з діелектриком проникності Оµ розташований невеликий кулька, заряджений зарядом q. Знайти поверхневу щільність пов'язаного заряду на границі розділу як функцію відстані r від проекції центра кульки на площину.
Рішення Вводимо систему координат таким чином, що вісь z перпендикулярна площині розділу середовищ xy. Тоді заряд q має координати (0, 0, z).
Будемо шукати рішення у вигляді
П†1
=
П†2
=
Значок 1 відповідає півпростору, в якому знаходиться заряд.
Потенціал зазначеного виду підпорядковується рівнянню Пуассона. Дійсно, для півпростору без заряду О”П†2 = 0, так як особливість функції П†2 (z, r) знаходиться взагалі поза цього півпростору. Що стосується П†1 (z, r), то, оскільки перший член в точності відповідає потенціалу точкового заряду, а другий дає нуль, так як його особливість не потрапляє в півпростір містить заряд. Зауважимо, що, якщо б півпростір з зарядом було заповнено діелектриком (Оµ1), то це Оµ1 варто було б помістити в знаменник першого члена вирази для П†1.
Знайдемо z-компоненту поля, соответствущий введеному потенціалу:
Ez1
=
Ez2
=
Оскільки z-компонента є нормальною компонентою до межі розділу, для неї повинне бути виконана умова Dz1 = Dz2, тобто
Крім цієї вимоги, необхідно забезпечити безперервність потенціалу, а саме
П†1 (0, r) = П†2 (0, r)
Два вищевказаних умови призводять до співвідношень
-l + B1l
=
-Оµ A2 l
1 + B1
=
A2
з яких маємо
Поверхневий пов'язаний заряд знайдеться як
Проінтегрувавши Пѓ 'по площі, отримуємо повний пов'язаний заряд
Список літератури
1. І.Є. Іродів, Завдання по загальній фізиці, 3-е изд., М.: Видавництво БІНОМ, 1998. - 448 с.; або 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.
2. В.В. Батигін, І.М. Топтигін, Збірник задач з електродинаміки (під ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Ліфшиц, Теоретична фізика. т.8 Електродинаміка суцільних середовищ, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.
Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту edu.ioffe.ru/r
