Введення
Ланцюг Маркова - послідовність випадкових подій з кінцевим або рахунковим нескінченним числом результатів, що характеризується тим властивістю, що при фіксованому теперішньому майбутнє незалежно від минулого.
Ланцюги Маркова - одна з основних і актуальних тем в нинішній час в сучасній математиці. Ланцюги Маркова є узагальненням схеми Бернуллі, яка була написана в XVII, а Марківські ланцюги отримали порівняно недавно своє визнання. Дуже багато процесів в нинішній час вирішуються за допомогою схем Бернуллі або ланцюгів Маркова. Вся пошукова система Інтернету заснована на цих процесах.
Ця була одна з основних причин вибору мною цієї теми для випускної кваліфікаційної роботи (ВКР). Мені було дуже цікаво, за яким принципом відбувається вибірка по розсилці, або з пошуку в Інтернеті. Розсилка спам-ботів заснована теж на цих же процесах.
Мета моєї роботи - Ознайомитися і як можна докладніше розглянути зацікавив мене матеріал. Особливо цікавою для мене була ця тема з тієї причини, що вона не розглядалася в курсі мого навчання в інституті, а є частиною пройденого матеріалу з теорії ймовірності.
Свою роботу В«Додаток схеми Бернуллі. Узагальнення. Ланцюги Маркова В»я починаю з введення понять стосуються розділу схеми Бернуллі. З цього і складаються моя перша глава ВКР - Біографія Якоба Бернуллі і схема Бернуллі. Я розглядаю різні варіанти схем Бернуллі, як вона по-різному застосуються, різні форми запису, узагальнення.
У другому розділі своєї роботи я вже по вище розглянутим поняттям схем Бернуллі вводжу поняття Ланцюг Маркова, яка була так названа на честь нашого співвітчизника, великого математика, Андрія Андрійовича Маркова. Для кращого поняття теми Ланцюги Маркова в цій главі я розглядаю введення поняття ланцюг Маркова з допомогою прикладу.
Третя глава дає нам уявлення про те, який обсяг роботи може виконувати людина, яка володіє ланцюгами Маркова. Детально розглядаю на прикладі по визначенню авторства тексту. Я порахував цей приклад дуже вдалим застосуванням Ланцюгів Маркова.
Глава 1. Схема Бернуллі
1.1 Історичний курс. Біографія Якоба Бернуллі
Якоб Бернуллі народився 27 грудня 1654 За бажанням батька готувався до звання протестантського священика. Закінчив Базельський університет, де вивчав філософію, богослов'я і мови. Володів німецькою, французькою, англійською, італійською, латинською і грецькою мовами. Випробовуючи непереборний потяг до математики, вивчав її таємно від батька. У 1671 р. отримав ступінь магістра філософії. З великим успіхом читав проповіді німецькою та французькою мовах. У той же час продовжував поповнювати свої знання з математики без вчителя, майже без підручників.
У жовтні 1686 м. виявляється вакантної посаду професора математики в Базельському університеті. Успіхи Якоба в математиці добре відомі, і Сенат університету одностайно висунув на вакантну посаду Якоба Бернуллі. Вступ на посаду відбулося 15 лютого 1687 Навряд чи присутні при цьому скромному акті представляли, що вони є свідками початку безприкладного в історії математики події: відтепер кафедру будуть займати Бернуллі впродовж ста років. Члени ж цієї сім'ї будуть професорами рідного університету протягом чверті тисячоліття, аж до другої половини XX в.
У тому ж році Якоб Бернуллі прочитав у В«Асtа EruditirumВ» за 1684 В«Новий методВ» Лейбніца і, виявивши важкі місця, письмово звернувся до Лейбніца за роз'ясненням. Лейбніц, знаходився у тривалому службовому поїздці, отримав листа лише через три роки, коли потреба в консультації відпала: Якоб спільно Йоганном оволоділи диференціальним і інтегральним численнями настільки, що незабаром змогли приступити систематичного розвитку методу. Утворився тріумвірат - Лейбніц, Якоб і Іоганн Бернуллі - менш ніж за двадцять років надзвичайно збагатив аналіз нескінченно малих.
З 1677 р. Я. Бернуллі став вести нотатники, куди вносив різного роду замітки наукового змісту. Перші записи присвячені теології, зроблені під впливом поширеного в той час в Базелі збірника спірних теологічних питань.
Основне місце в записниках займає вирішення завдань. Вже по раннім записів можна судити про проявленому Я. Бернуллі інтерес до прикладної математики. Математичні замітки показують, як поступово Я. Бернуллі опановував методами Валліса, Декарта, інфінітезімальних методами, як розвивав і удосконалював їх. Вирішені ним завдання служили відправними пунктами для подальших глибших досліджень.
У січні 1684 р. Я. Бернуллі провів у Базельському університеті відкритий диспут, на якому захищав 100 тез, з них 34 логічних, 18 діалектичних і 48 змішаних. Деякі тези вкрай цікаві. Ось приклади:
78. Іноді існує кілька найкоротших шляхів з точки в точку
83. Серед изопериметрических фігур одна може бути в безліч разів більше інший
85. Не в кожному трикутнику сума внутрішніх кутів дорівнює двом прямим
89. Квадратура кола ще не знайдена, але не тому, що між викривленим і прямолінійним немає ніякої зв'язку; насправді криву можна спрямити, а криволінійну фігуру квадрировать
У травні 1690 Я. Бернуллі опублікував в В«Асtа EruditirumВ» першу роботу, пов'язану з обчисленням нескінченно малих. У ній він дав рішення поставленої Лейбніцем в 1687 р. завдання про парацентрической изохроне. Необхідно було знайти криву, по якій матеріальна точка опускалася б в рівні проміжки часу на рівні висоти. Я. Бернуллі вивів диференціальне рівняння кривої і проинтегрировал його. При цьому він вперше вжив у пресі термін В«інтегралВ», вказавши, що з рівності двох виразів, що зв'язують диференціали, слід рівність інтегралів.
У лекціях, читаних Лопиталю, І. Бернуллі хід рішення викладає так. Нехай шуканої кривої буде АDС. Матеріальна точка за час О”t переміщається з точки D в точку d і з точки З в точку с. За умовою завдання проекції дуг Dd Сс на вертикаль однакові. Проведемо через D і С дотичні до кривої до перетину з продовженням АF. Відрізки дотичних будуть DK і CL. Напишемо тотожність
Вв.Сс = Вв.Рс • Рс.Ссю
Дуги Dd і Сс малі, тому фігури GDd і НСС можна вважати трикутниками.
З подоби трикутників GDd і DEK, НСС і СFL отримаємо
Вв.ВП = ВЛ.ВУбСс.Нс = СД.САю
За допомогою цих пропорцій знайдемо
Вв.Сс = ВП1Нс • ВК.ВŠ• СА.СДю
За умовами задачі dG/Нс = 1, тому
Вв1Сс = ВК.ВŠ• СА.СДю
Проведемо через точку С пряму СМ, паралельну DК. Тоді
DК/DЕ = СМ/СF, Dd/Сс = СМ/СL.
Але відношення Dd/Сс дорівнює відношенню швидкостей (інтервал О”t один і той же), квадрати ж швидкостей, по знайденому Галілеєм закону, ставляться як пройдені висоти; це дає
Dd 2 /Сс 2 = СМ 2 /СL 2 = DЕ/CF, СМ 2 /СL 2 = DЕ/СF.
Останнє рівність означає, що якщо через дві довільні точки кривої провести дотичні СL і DК і через точку З провести РМ паралельно DК, то повинна виконуватися зазначена пропорція. Таку властивість має шукана крива.
Завдання виявилося зведеної до класу обернених задач на дотичні: знайти криву, дотичні до якої задовольняють деякому вимогу. Подібну задачу вперше запропонував Декарту Дебон, і Декарт з нею не справився. Розроблений Лейбніцем метод дозволяє вирішувати і зворотні завдання на дотичні.
Виберемо початок координат в точці А. Позначимо АЕ = х, ЕD = у. Тоді GD = dх, Gd = dу. Позначимо також СF = а, СL = b. Трикутники FСМ і СdD подібні, звідси
Gd/Dd = FС/СМ.
Але Dd = в€љ dx 2 + dy 2 , тому
dy/в€љ dx 2 + dy 2 = а/СМ, звідки
CM 2 = (A 2 dx 2 + a 2 dy 2 )/dy 2 .
<...
