апроксимації функцій Метод найменших
КВАДРАТОВ
Зміст
1. Мета роботи
2. Методичні вказівки
2.1 Методичні рекомендації по апроксимації методом найменших квадратів
2.2 Постановка завдання
2.3 Методика вибору апроксимуючої функції
2.4 Загальна методика рішення
2.5 Методика рішення нормальних рівнянь
2.6 Рекомендації щодо вибору форми запису систем лінійних алгебраїчних рівнянь
2.7 Методика обчислення зворотної матриці
3. Ручний рахунок
3.1 Вихідні дані
3.2 Система нормальних рівнянь
3.3 Рішення систем методом зворотної матриці
4. Схема алгоритмів
5. Текст програми
6. Результати машинного розрахунку
Висновок
1. Мета роботи
Ця курсова робота є завершальним розділом дисципліни В«Обчислювальна математика і програмування В»і вимагає від студента в процесі її виконання рішення наступних завдань:
а) практичного освоєння типових обчислювальних методів прикладної інформатики; б) вдосконалення навичок розробки алгоритмів і побудови програм на мові високого рівня.
Практичне виконання курсової роботи передбачає вирішення типових інженерних задач обробки даних з використанням методів матричної алгебри, розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь чисельного інтегрування. Навички, що здобуваються в процесі виконання курсової роботи, є основою для використання обчислювальних методів прикладної математики і техніки програмування в процесі вивчення всіх наступних дисциплін при виконанні курсових і дипломних проектів.
2. Методичні вказівки
2.1 Методичні рекомендації по апроксимації методом найменших квадратів
2.2 Постановка завдання
При вивченні залежностей між величинами важливим завданням є наближене уявлення (апроксимація) цих залежностей за допомогою відомих функцій або їх комбінацій, підібраних належним чином. Підхід до такого завдання і конкретний метод її рішення визначаються вибором використовуваного критерію якості наближення і формою представлення вихідних даних.
2.3 Методика вибору апроксимуючої функції
апроксимується функцію вибирають з деякого сімейства функцій, для якого заданий вид функції, але залишаються невизначеними (І підлягають визначенню) її параметри тобто
(1)
Визначення апроксимуючої функції П† розділяється на два основних етапи:
Підбір відповідного виду функції;
Знаходження її параметрів у відповідності з критерієм МНК.
Підбір виду функції являє собою складну задачу, вирішувану методом проб і послідовних наближень. Вихідні дані, представлені в графічній формі (сімейства точок або криві), зіставляється з сімейством графіків ряду типових функцій, використовуваних звичайно для цілей апроксимації. Деякі типи функцій, використовуваних в курсовій роботі, наведені в таблиці 1.
Більш докладні відомості про поведінку функцій, які можуть бути використані в завданнях апроксимації, можна знайти в довідковій літературі. У більшості завдань курсової роботи вид апроксимуючої функції заданий.
2.4 Загальна методика рішення
Після того як обраний вид апроксимуючої функції (або ця функція задана) і, отже, визначена функціональна залежність (1), необхідно знайти відповідно до вимог МНК значення параметрів С 1 , З 2 , ..., С m . Як вже вказувалося, параметри повинні бути визначені такому чином, щоб значення критерію в кожній з розглянутих завдань було найменшим за порівнянні з його значенням при інших можливих значеннях параметрів.
Для рішення задачі підставимо вираз (1) у відповідне з виразів та проведемо необхідні операції підсумовування або інтегрування (в залежності від виду I). В результаті величина I, іменована в Надалі критерієм апроксимації, представляється функцією шуканих параметрів
(2)
Подальше зводитися до відшукання мінімуму цієї функції змінних З k ; визначення значень С k = C k * , к = 1, m, відповідних цьому елементу I, і є метою розв'язуваної задачі.
Типи функцій Таблиця 1
Вид функції
Назва функції
Y = C 1 + C 2 В· x
Лінійна
Y = C 1 + C 2 В· x + C 3 В· x 2
Квадратична (параболічна)
Y =
Раціональна (поліном n -й ступеня)
Y = C 1 + C 2 В·
Назад пропорційна
Y = C 1 + C 2 В·
Степенева дробно-раціональна
Y =
дрібно-раціональні (першої ступеня)
Y = C 1 + C 2 В· X C3
Степенева
Y = C 1 + C 2 В· a C3 В· x
Показова
Y = C 1 + C 2 В· log a x
Логарифмічна
Y = C 1 + C 2 В· X n (0
Ірраціональна, алгебраїчна
Y = C 1 В· sinx + C 2 cosx
Тригонометричні функції (і зворотні до них)
Можливі наступні два підходу до вирішення цього завдання: використання відомих умов мінімуму функції декількох змінних або безпосереднє відшукання точки мінімуму функції яким - Небудь з чисельних методів.
Для реалізації першого із зазначених підходів скористаємося необхідною умовою мінімуму функції (1) декількох змінних, у відповідності з якими в точці мінімуму повинні бути дорівнюють нулю приватні похідні цієї функції по всім її аргументів
Отримані m рівностей слід розглядати як систему рівнянь щодо шуканих З 1 , З 2 , ..., С m . При довільному вигляді функціональної залежності (1) рівняння (3) виявляється нелінійним відносно величин C k і їх рішення вимагає застосування наближених чисельних методів.
Використання рівності (3) дають, лише необхідні, але недостатні умови мінімуму (2). Тому потрібно уточнити, чи забезпечують знайдені значення C k * саме мінімум функції. У загальному випадку таке уточнення виходить за рамки цієї курсової роботи, і пропоновані для курсової роботи завдання підібрані так, що знайдене рішення системи (3) відповідає саме мінімуму I. Однак, оскільки величина I неотрицательна (як сума квадратів) і нижня її межа є 0 (I = 0), то, якщо існує рішення системи (3) єдино, воно відповідає саме мінімуму I.
При поданні апроксимуючої функції загальним виразом (1) відповідні нормальним рівнянням (3) виявляються нелінійними щодо шуканих З оскільки їх рішення може бути пов'язане зі значними труднощами. У т...
