Завдання
Дано:
В· Універсум
В· Множини,,
В· Бінарні відносини
В· Функція
Потрібно:
1. Знайти
2. Вирішити рівняння
3. Побудувати графи і матриці відносин P і Q, вказати,,
4. Дослідити ставлення Р на наявність стандартних властивостей (Рефлексивність, антірефлексівность, симетричність, антисиметрична, транзитивність).
5. Побудувати граф і матрицю відносини, вказати,.
6. Побудувати граф і матрицю відносини, вказати,.
7. Побудувати графи і матриці замикань відносини Р:
. Для кожного з замикань вказати і.
8. Знайти, побудувати природну проекцію:.
9. Побудувати таблицю значень, граф і матрицю функції f. Вказати.
10. Побудувати граф і матрицю відносини.
11. Знайти, побудувати індуковане відображення:.
12. Побудувати граф і матрицю відносини М . Вказати,.
13. Довести, що відношення М є відношення строгого порядку в А.
14. Досліджувати М на лінійність (повноту).
15. Інтерпретуючи відношення М як В«меншеВ», знайти в безлічі А щодо М мінімальні і максимальні, найменші і найбільші елементи (Якщо такі існують).
Рішення
1. Знайти
2. Вирішити рівняння
3. Побудувати графи і матриці відносин P і Q, вказати,,
рефлексивність симетричність граф матриця
4. Дослідити ставлення Р на наявність стандартних властивостей (Рефлексивність, антірефлексівность, симетричність, антисиметрична, транзитивність).
За матриці відносини Р визначаємо його властивості:
1. Чи не рефлексивно, тому на головній діагоналі є нулі.
2. Чи не антисиметрична, тому на головній діагоналі є одиниці.
3. Не симетрично
4. Чи не антисиметрична
5. Для визначення чи є відношення транзитивним, зведемо його матрицю в квадрат:
За отриманою матриці видно, що відношення Р не транзитивній.
5. Побудувати граф і матрицю відносини, вказати,.
6. Побудувати граф і матрицю відносини, вказати,.
7. Побудувати графи і матриці замикань відносини Р:. Для кожного з замикань вказати і.
8. Знайти, побудувати природну проекцію:.
9. Побудувати таблицю значень, граф і матрицю функції f. Вказати.
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f (x)
5
7
1
2
2
4
3
2
1
1
10. Побудувати граф і матрицю відносини.
або в матричній формі
11. Знайти, побудувати індуковане відображення:.
12. Побудувати граф і матрицю відносини М . Вказати,.
13. Довести, що відношення М є відношення строгого порядку в А.
Відношення називається відношенням строгого порядку, якщо воно антірефлексівно, антисиметрична і транзитивне. По матриці відношенні М:
1. Ставлення антірефлексівно, тому на головній діагоналі немає 1.
2. Ставлення антисиметрична, оскільки при aRb і bRa a = b.
3. Для перевірки на транзитивність зведемо матрицю відносини в квадрат:
Порівнюючи отриману матрицю з вихідною бачимо, що ставлення транзитивній.
Отже, відношення М є відношенням строгого порядку.
14. Досліджувати М на лінійність (повноту).
Розглянемо відносини зв'язності:
На основі цього будуємо ранжируваний граф:
Граф являє собою пряму лінію, тобто в ньому немає паралельних вершин, отже, ставлення М лінійно.
15. Інтерпретуючи відношення М як В«меншеВ», знайти в безлічі А щодо М мінімальні і максимальні, найменші і найбільші елементи (Якщо такі існують).
Розглянемо ранжируваний граф.
У графі немає паралельних вершин, тому мінімальний елемент є найменшим, а максимальний - найбільшим. Найменший елемент - 3, найбільший елемент - 7.
